Onduloide

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca
Un onduloide generato al computer.

In geometria, un onduloide è una superficie avente curvatura media costante e diversa da zero, e quindi una superficie di Delaunay,[1] ottenuta come superficie di rivoluzione di una catenaria ellittica: ruotando cioè un'ellisse lungo una linea fissata (facendola quindi rotolare), tracciando il fuoco e rivoluzionando la curva risultante, detta ondularia, attorno alla suddetta linea. Nel 1841, Charles-Eugène Delaunay dimostrò che le uniche superfici di rivoluzione con curvatura media costante erano quelle ottenute ruotando le rullette delle coniche. Queste superfici sono il piano, il cilindro, la sfera, il catenoide, l'onduloide e il nodoide.[2][3]

Formulazione[modifica | modifica wikitesto]

L'equazione differenziale dell'ondularia è:[4] .

Partendo da questa, siano la funzione seno di Jacobi e la funzioni ellittica di Jacobi, siano l'integrale ellittico incompleto di prima specie e l'integrale ellittico incompleto di seconda specie, siano a la lunghezza dell'asse maggiore dell'ellisse ed e l'eccentricità della stessa e infine sia k un valore fisso compreso tra 0 e 1 e chiamato "modulo", date queste variabili l'equazione parametrica dell'ondularia è:

La formula per la superficie di rivoluzione detta onduloide è quindi:

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La proprietà più interessante dell'onduloide è il fatto di avere una curvatura media costante. Attraverso l'intera superficie, essa è infatti sempre il reciproco del doppio della lunghezza dell'asse maggiore: 1/(2a).[5]

Inoltre, le geodetiche su un onduloide obbediscono alla relazione di Clairaut e il loro comportamento è quindi prevedibile.[6]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Silvia Telesa, Visualizzazione grafica delle superfici di Delaunay[collegamento interrotto], Università degli studi di Torino, 2009. URL consultato il 30 giugno 2019.
  2. ^ (FR) C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante (PDF), in J. Math. Pures Appl., vol. 6, 1841, pp. 309-320. URL consultato il 30 giugno 2019.
  3. ^ Eric Laithwaite, Un inventore nel giardino dell'Eden, Edizioni Dedalo, 1996, p. 174.
  4. ^ John Oprea, Differential Geometry and its Applications, MAA, 2007, p. 136. URL consultato il 31 luglio 2019.
  5. ^ H. Cundy e A. Rollett, Mathematical Models, 3rd ed., Tarquin Pub., 1989.
  6. ^ Manuel Ritoré, Constant Geodesic Curvature Curves and Isoperimetric Domains in Rotationally Symmetric Surfaces (PDF), in Communications in analysis and geometry, vol. 9, n. 5, 2001, pp. 1093-1138. URL consultato il 31 luglio 2019 (archiviato dall'url originale il 1º agosto 2019).

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica