Metodo delle variazioni delle costanti

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In analisi matematica, il metodo delle variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita è chiamata in tutti gli esempi .

Equazioni del primo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Una equazione differenziale del primo ordine in forma normale è del tipo:

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

ottenute a partire da una soluzione dell'equazione omogenea associata:

del tipo:

dove è una primitiva di e è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che la costante viene trasformata in una funzione da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

da cui, sostituendo:

Semplificando si ottiene:

Isolando ciò che ci interessa e integrando entrambi i membri:

da cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Equazioni del secondo ordine[modifica | modifica wikitesto]

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

costruite a partire da due soluzioni e dell'equazione omogenea associata:

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

Questo fa sì che risulti:

e di conseguenza:

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

e quindi:

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché e sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite e :

Il determinante della matrice:

è il wronskiano di e : questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

Integrando e si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Equazioni di ordine n[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso di equazioni di ordine n:

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite :

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

sia un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

dove sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

Con un'ultima differenziazione si ha:

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

dove è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da .

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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