Insieme di Vitali

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, l'insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme di che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva, invariante per traslazioni e sigma-finita (in particolare non è misurabile rispetto alla misura di Lebesgue). Per la costruzione dell'insieme di Vitali è indispensabile l'assioma della scelta.

La costruzione procede nel seguente modo:

  • Si definisce sui numeri reali dell'intervallo la seguente relazione di equivalenza: si dice che è equivalente a se la loro differenza è un numero razionale.
  • Si considera l'insieme di tutte le classi di equivalenza indotte dalla relazione appena definita. Queste devono essere una infinità non numerabile, poiché se fossero un'infinità numerabile avremmo che l'insieme stesso sarebbe numerabile (in quanto unione numerabile di insiemi numerabili).
  • Per l'assioma della scelta esiste un insieme che contiene esattamente un rappresentante di ogni classe, chiamiamolo : è l'insieme di Vitali.

Dimostrazione della non misurabilità dell'insieme [modifica | modifica wikitesto]

L'insieme di Vitali ha le seguenti proprietà:

  • Se lo si trasla di una quantità pari ad un qualsiasi numero razionale strettamente positivo, occuperà punti completamente diversi da quelli che occupava inizialmente. Più formalmente, l'insieme e il suo traslato sono disgiunti per qualsiasi . Questo perché se per assurdo fosse , dove con , esisterebbero distinti, e quindi con essendo rappresentanti di diverse classi di equivalenza, tali che . Ma allora, , ovvero , che è assurdo avendo osservato che per ogni distinti.
  • Dato un qualunque punto , questo apparterrà a qualcuna delle traslazioni con : infatti apparterrà a qualcuna delle classi di equivalenza definite sopra, e dato che in c'è un rappresentante di ogni classe, allora in c'è un punto che dista da una quantità pari ad un numero razionale.

Dalle proprietà enunciate discende la non misurabilità di nel caso in cui la misura verifichi le seguenti proprietà:

  • per ogni insieme si verifica l'invarianza per traslazioni, ovvero .
  • positività:
  • si verifica per ogni , . Grazie all'invarianza per traslazioni, affinché valga questa condizione è sufficiente assumere che è una misura sigma-finita.

Per dimostrare la non misurabilità di rispetto alla misura si assume che sia definito il valore di e si ricava una contraddizione con le ipotesi. Si consideri l'insieme ottenuto unendo tutte le possibili traslazioni di di numeri razionali compresi tra e . A tale scopo, si prenda inizialmente una enumerazione dei razionali di , e si definisca l'insieme:

Si osserva che perché è un insieme limitato ( e quindi viene dalla terza proprietà di ). Poiché è un'unione disgiunta di insiemi, per le proprietà delle misure si ha che:

e per l'invarianza di per traslazioni:

ma poiché la quantità a sinistra dell'uguaglianza è finita, la relazione appena scritta implica che , e quindi anche . Si è osservato prima, tuttavia, che ogni si trova in uno dei , quindi deve includere tutto l'intervallo . Ma allora, dalle proprietà delle misure, si ha e si è visto che quest'ultima è nulla, quindi e per l'invarianza per traslazioni si deve avere anche , il che contraddice le ipotesi su .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer, 2006, p. 120.
  • Giuseppe Vitali, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, in Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani, 1905.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica