Gruppo di Grothendieck

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene . Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione esplicita[modifica | modifica wikitesto]

Sia un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano definiamo la relazione di equivalenza

;

definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti

che è compatibile con .

Il gruppo di Grothendieck di è l'insieme quoziente ; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie , mentre l'inverso della classe è la classe .

Proprietà universale[modifica | modifica wikitesto]

Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo , il Grothendieck è un gruppo (insieme con un monomorfismo di semigruppi tale che, per ogni omomorfismo (dove è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi tale che .

La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di , allora conterrà anche un'immagine omomorfa di .

Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra e .

In termini di teoria delle categorie, qwuesta costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Se è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo allora è un sottogruppo del gruppo commutativo .
  • Se è un gruppo commutativo allora coincide con ; più precisamente, le mappe e sono isomorfismi tra e
  • Se è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora è isomorfo al gruppo dei numeri interi .
  • Se è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora .

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]