Gruppo di Grothendieck

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In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo S è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene S. Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Costruzione esplicita[modifica | modifica wikitesto]

Sia (S,+\!\,) un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano S\times S definiamo la relazione di equivalenza

(s_1, s_2) \sim (t_1, t_2) \Leftrightarrow \exists\, r \in S \; : \; s_1 + t_2 + r = s_2 + t_1 + r;

definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti

(s_1,s_2) + (t_1,t_2) := (s_1 + t_1, s_2 + t_2) \quad \forall (s_1,s_2),(t_1,t_2) \in S \times S

che è compatibile con \sim.

Il gruppo di Grothendieck di S è l'insieme quoziente K(S):= S\times S / \!\sim; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie (s,s), mentre l'inverso della classe [(s_1,s_2)] è la classe [(s_2,s_1)].

Proprietà universale[modifica | modifica wikitesto]

Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo S, il Grothendieck è un gruppo K (insieme con un monomorfismo di semigruppi i:S\longrightarrow K tale che, per ogni omomorfismo f:S\longrightarrow A (dove A è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi g:M\longrightarrow A tale che f=g\circ i.

La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di S, allora conterrà anche un'immagine omomorfa di K.

Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se K' è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra K e K'.

In termini di teoria delle categorie, qwuesta costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

  • Se (T,+) è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo (S,+) allora K(T,+) è un sottogruppo del gruppo commutativo K(S,+).
  • Se (G,+) è un gruppo commutativo allora K(G) coincide con G; più precisamente, le mappe \phi(g)=[(g,0)] e \psi([(g,h)])=g-h sono isomorfismi tra G e K(G)
  • Se (\mathbb{Z}_0,\times) è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora K(\mathbb{Z}_0,\times) \cong (\mathbb{Q}_0,\times).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]