Grafo di Cayley

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Il grafo di Cayley del gruppo libero su due generatori e è un albero infinito in cui ogni vertice è adiacente a quattro spigoli.

In matematica, il grafo di Cayley è un grafo associato ad un gruppo, che traduce alcune proprietà algebriche del gruppo in proprietà metriche del grafo. Il grafo di Cayley è uno strumento centrale in topologia e nella teoria geometrica dei gruppi.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia un gruppo e un insieme di generatori per . Il grafo di Cayley di è un grafo costruito a partire da e nel modo seguente.[1]

  • I vertici del grafo sono gli elementi di ,
  • gli spigoli del grafo sono le coppie al variare di in e in .

Si può decidere di dare un colore diverso ad ogni generatore ed assegnare quel colore allo spigolo . Si può anche dare un'orientazione allo spigolo, che parte da ed arriva in .

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Gruppi abeliani[modifica | modifica wikitesto]

Sia il gruppo degli interi e consista del generatore standard 1. Il grafo di Cayley è l'insieme di vertici , con un segmento per ogni coppia . Topologicamente il grafo di Cayley è quindi una retta.

Sia il gruppo ciclico di ordine e il generatore standard. Il grafo di Cayley è l'insieme di vertici , con un segmento per ogni coppia , inclusa la coppia . Il grafo di Cayley è quindi un poligono con lati.

Prodotto diretto[modifica | modifica wikitesto]

Il grafo di Cayley del prodotto di gruppi è il prodotto cartesiano dei grafi di Cayley di ogni fattore, purché l'insieme dei generatori per il prodotto sia scelto in modo naturale sulla base dei generatori dei singoli fattori[2].

Il grafo di Caley di con generatori e è una griglia nel piano .

Gruppo diedrale[modifica | modifica wikitesto]

Grafo di Cayley del gruppo diedrale con generatori e
Grafo di Cayley di con generatori e

Il grafo di Cayley del gruppo diedrale presentato nel modo seguente

con generatori e è mostrato nella figura a sinistra. Nella figura di destra è mostrato il grafo di Cayley dello stesso gruppo rispetto ad un altro insieme di generatori.

Gruppo libero[modifica | modifica wikitesto]

Il grafo di Cayley del gruppo libero con due generatori e è mostrato più in alto: si tratta di un albero infinito in cui ogni vertice è adiacente a quattro spigoli.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Arthur Cayley, Desiderata and suggestions: No. 2. The Theory of groups: graphical representation, in Amer. J. Math., vol. 2, nº 1, 1878, pp. 174–176, JSTOR 2369306.
  2. ^ Nel prodotto di due gruppi $G_1\times G_2$ si prendono come generatori gli elementi $(s_1,0)$ e $(0,s_2)$ al variare di $s_1$ e $s_2$ fra i generatori di $G_1$ e $G_2$.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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