Funzione K

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In matematica la funzione K, è una funzione speciale che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione di interi chiamata iperfattoriale da Neil Sloane e Simon Plouffe, così come la funzione Gamma è una estensione complessa della successione dei fattoriali.

La funzione K si può definire come

K(z):=(2\pi)^{\frac{-z-1}{2}} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1}dt\, \ln(t!)\right] .

essa si può anche esprimere in forma chiusa come:

K(z) = \exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right]

mediante derivate della funzione zeta di Riemann ζ'(z) e della funzione zeta di Hurwitz ζ(a,z); qui si intende precisamente che sia

\zeta^\prime(a,z)\equiv\left[\frac{d\zeta(s,z)}{ds}\right]_{s=a}.

La funzione K è collegata strettamente alla funzione Gamma e alla funzione G di Barnes; per argomenti n interi naturali si ha

 K(n) = \frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)} .

Più concretamente possiamo scrivere

K(n) = 1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots (n-1)^{n-1} .

La successione di questi valori, cioè la successione degli iperfattoriali, costituisce la sequenza A002109 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. I valori di questa successione relativi a n=0, 1, ..., 10 sono

1,  1,  4,  108,  27648,  86400000,  4031078400000,  3319766398771200000,
55696437941726556979200000,   21577941222941856209168026828800000,
215779412229418562091680268288000000000000000

Benoit Cloitre nel 2003 ha dimostrato che

\frac{1}{K(n)} = (-1)^n \mbox{det}
\begin{vmatrix}
-1&-1&-1&\cdots&-1\\
{1\over 2}&{1\over 4}&{1\over 8}&\cdots&{1\over 2^n}\\
-{1\over 3}&-{1\over 9}&-{1\over 27}&\cdots&-{1\over 3^n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
{(-1)^n\over n}&{(-1)^n\over n^2}&{(-1)^n\over n^3}&\cdots&{(-1)^n\over n^n}\\
\end{vmatrix}

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