Equazioni di Yule-Walker

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In statistica per un modello AR (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

In particolare, la matrice dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, per sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale o subdiagonale sono eguali tra loro. La matrice è pertanto caratterizzata da numeri e può dunque essere rappresentata da:

Nota: Per ricavare l'elemento emmesimo si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Considerando un processo AR:

Moltiplicando entrambi i membri per e usando l'operatore del valore atteso si ha:

Si ha che la funzione di autocorrelazione è: . I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e risulta indipendente da per m > 0. Se m ≠ 0 . Per m = 0 si ha:

Adesso risulta:

Poiché:

=

La risultante equazione di Yule-Walker:

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.
  • Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.
  • Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.
  • Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T. : School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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