Autocovarianza

In teoria della probabilità e statistica, dato un processo stocastico $X=(X_{t})$, l'autocovarianza è una funzione che dà la covarianza del processo con sé stesso a coppie di punti temporali. Con la notazione usuale $E$ per l'operatore di valore atteso, se il processo ha la funzione di media $\mu _{t}=E[X_{t}]$, allora l'autocovarianza è data da

$C_{XX}(t,s)=\mathrm {Cov} (X_{t},X_{s})=E[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]=E[X_{t}X_{s}]-\mu _{t}\mu _{s}.$

L'autocovarianza è correlata all'autocorrelazione del processo in questione.

Nel caso di un vettore casuale multivariato $X=(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$, l'autocovarianza diviene una matrice quadrata $n\times n$ con l'elemento $i,j$ dato da $C_{XX}(t,s)_{i,j}=\mathrm {Cov} (X_{t},X_{s})_{i,j}$ e comunemente indicata come matrice delle autocovarianze associata con i vettori $X_{t}$ e $X_{s}$.

Stazionarietà debole

Se $X(t)$ è un processo debolmente stazionario, allora sono vere le seguenti uguaglianze:

$\mu _{t}=\mu _{s}=\mu ,\quad$per ogni $t,s;$

$C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau );$

dove $\tau =|s-t|$ è il tempo di ritardo o il tempo con cui il segnale è stato traslato.

Normalizzazione

Quando si normalizza l'autocovarianza $C$ di un processo debolmente stazionario con la sua varianza, $C_{XX}(0)=\sigma ^{2}$, si ottiene il coefficiente di autocorrelazione $\rho$:

$\rho _{XX}(\tau )={\frac {C_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}$

con $-1\leq \rho _{XX}(\tau )\leq 1$.

Proprietà

L'autocovarianza di un processo filtrato linearmente $Y_{t}$

$Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}$

è

$C_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}^{*}C_{XX}(\tau +k-l).$

Bibliografia

• P. G. Hoel, Mathematical Statistics, Fifth, New York, Wiley, 1984, ISBN 0-471-89045-6.
• Lecture notes on autocovariance from WHOI, su w3eos.whoi.edu (archiviato dall'url originale il 28 aprile 2006).

Voci correlate

• Autocorrelazione
• Covarianza (probabilità)
• Correlazione (statistica)
• Covarianza incrociata
• Correlazione incrociata