In analisi matematica, la regola della catena è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata della funzione composta di due funzioni derivabili.
La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione esterna, avente come argomento la funzione interna, per la derivata della funzione interna:
![{\displaystyle \operatorname {D} [f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d4c3d6dcf2ce587485526b8980d8c04317ccb2)
Le notazioni
e
indicano il medesimo significato di derivata.
La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t)),\quad t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da688174031df46e3c948e9a9b03b0bb8b4c3c63)
è un vettore di
le cui componenti sono funzioni derivabili
![{\displaystyle \mathbf {x} '(t)=(x'_{1}(t),x'_{2}(t),\dots ,x'_{n}(t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0f8b0ec9fed52b58cfa799d27aeb07892f2783)
e se
è una funzione differenziabile in
, allora la funzione composta
![{\displaystyle F(t)=f(\mathbf {x} (t))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54554eb6c12baf4dd7cafcabc0709e6f2d2f01b2)
è differenziabile nella variabile
e si ha:
![{\displaystyle F'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} (t))}{\partial x_{i}}}x'_{i}(t)=\langle {\mathbf {\nabla } F(t)},{\mathbf {x} '(t)}\rangle =\langle {\mathbf {\nabla } f(\mathbf {x} (t))},{\mathbf {\mathbf {x} } '(t)}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b0f0ad4b309dc231f5b0bc073710ad93e2b482)
dove
è il gradiente di
e
è il prodotto scalare euclideo.
Ad esempio, se
è una funzione di due variabili composta dopo la funzione vettoriale
, cioè
, allora:
![{\displaystyle {df \over dt}={\partial f \over \partial g}{dg \over dt}+{\partial f \over \partial h}{dh \over dt}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a125cb3f154b3a32e325fa10d57f5a7a701a856)
Inoltre, se
e
sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
![{\displaystyle J[(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(x)]=J[\mathbf {f} (\mathbf {g} (x))]\cdot J[\mathbf {g} (x)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a3876df6afe754933f3cecf3670ec65a54049d)
dove
è la moltiplicazione di matrici e
è la matrice jacobiana di
.
Sia, per non appesantire la notazione,
, da cui
. Definiamo ora
![{\displaystyle \omega (\Delta g)={\begin{cases}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{\Delta g}}-f'(g(x)),&{\text{se }}\Delta g\neq 0,\\0,&{\text{se }}\Delta g=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c45a600eab0c124592ec27faa8691bd49bffd26)
È dunque
![{\displaystyle f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))=f'(g(x))\cdot \Delta g+\omega (\Delta g)\cdot \Delta g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82829ade13165991588ab772d3589999a7d9c9f3)
Inoltre, per l'ipotesi di derivabilità di
, è
![{\displaystyle \lim _{\Delta g\to 0}\omega (\Delta g)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6793f29816ca916ee35b2587c3dbade701444cbc)
Esaminiamo ora il rapporto incrementale di
:
![{\displaystyle \operatorname {D} [f(g(x))]=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(g(x))\cdot \Delta g+\omega (\Delta g)\cdot \Delta g}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd17f1e39db08495ede5222ed06056217600d18a)
Spezzando la frazione, abbiamo
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}f'(g(x))\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}\omega (\Delta g)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30722983bfa03aa0419bb91eff7b6c273fc65b22)
E quindi passando al limite
![{\displaystyle \operatorname {D} [f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)+0\cdot g'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3616edf53d4eaf1bc61af336dc04e0ab51bee3a)
Siano
e
derivabili in ogni punto, dove
.
Dalla definizione di derivata si ha
![{\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{t\to x}{\frac {f(g(t))-f(g(x))}{t-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dbf62c3549c5c1b8ffeebf8fbd1d2fc94018c0)
L'idea di fondo è dividere il numeratore del rapporto incrementale per
in modo da ottenere il rapporto incrementale di
calcolato nel punto
, e quindi poter esprimere la derivata della funzione composta in funzione della derivata di
calcolata in
. Moltiplichiamo e dividiamo (che equivale a moltiplicare per
, preservando l'uguaglianza), il secondo membro per
:
![{\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{t\to x}{\frac {f(g(t))-f(g(x))}{t-x}}{\frac {g(t)-g(x)}{g(t)-g(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62e143f1c435478ecd355beeadc822223cd0f0a)
Per le proprietà associativa e commutativa del prodotto otteniamo:
![{\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{t\to x}{\frac {f(g(t))-f(g(x))}{g(t)-g(x)}}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9d7ca1135be0171756d8ba19341f49a71efc43)
Poiché per ipotesi
e
sono derivabili, esistono i limiti dei rapporti incrementali, rispettivamente
e
, in qualsiasi punto del dominio; ma per questo, dopo aver applicato nel primo limite del rapporto incrementale la sostituzione
, il limite del prodotto di quei rapporti incrementali è uguale al prodotto dei loro limiti presi separati:
![{\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g)(x)]=\lim _{\theta \to g(x)}{\frac {f(\theta )-f(g(x))}{\theta -g(x)}}\lim _{t\to x}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}=f'(g(x))\cdot g'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1326ad6724e32f3fc95e4abecf68ba6d547ca838)
Si considerino due funzioni
e la funzione composta
allora è possibile scrivere i rapporti incrementali delle funzioni in questo modo:
![{\displaystyle f(x+h)-f(x)=f'(x)h+o_{1}(h);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/943c6f8be64d92d76fdfd60c35597bf14dc4b293)
![{\displaystyle g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_{2}(k);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e932e83c80bfe35825c734f35d314e34059bb2)
![{\displaystyle H(x+h)-H(x)=\alpha (x)h-o_{3}(h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d757e71a162082a618f5ed64b175582efecbe3)
A questo punto si passa alla riscrittura di
tenendo conto che
quindi si ha:
![{\displaystyle H(x+h)-H(x)=g(f(x+h))-g(f(x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d80211ec5b5b9310d708f6a9d3380b551a068b01)
Si ricordi che
quindi si ha:
![{\displaystyle H(x+h)-H(x)=g(f(x)+f'(x)h+o_{1}(h))-g(f(x)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72552be6408a024135ed8f77812831b2c7d87b16)
Si effettua la sostituzione
e
e si scrive:
![{\displaystyle H(x+h)-H(x)=g(y+k)-g(y)=g'(y)k-o_{2}(k)=g'(f(x))\cdot (f'(x)h+o_{1}(h))-o_{2}(k)=g'(f(x))f'(x)h+g'(f(x))o_{1}(h)-o_{2}(k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855541033539c8a3faaaeb9546957d6c28a92416)
Si pone
e inoltre
così il teorema è dimostrato.
![{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2004f46b4e08da8ba2142b77f0cca57f6bd8cb)
poiché
, che è utile per fissare mnemonicamente il risultato (come se il
si "semplificasse" nelle due frazioni), anche se ovviamente non costituisce una dimostrazione.
- Applicando la formula iterativamente si può calcolare la derivata di una composizione di tre o più funzioni. Ad esempio:
![{\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g\circ h)(x)]=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc8687279f92ee746f633a6395394056d91fbc9)
e così via.
Sia
,
,
. Allora:
![{\displaystyle (f\circ g\circ h)(x)=\log \left[\left({x \over 2}\right)^{2}+3{x \over 2}\right]-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de820da76c1cbe4f2cbc981260d6234b57583f75)
e
![{\displaystyle \operatorname {D} [(f\circ g\circ h)(x)]={1 \over ({x \over 2})^{2}+3{x \over 2}}\cdot \left(2{x \over 2}+3\right)\cdot {1 \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488fb0dffc14e3ac68d1ab0482f94196f4ac42ab)
L'estensione della formula al calcolo delle derivate successive si deve a Faà di Bruno. In particolare, se
possiedono tutte le derivate necessarie, allora risulta:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}={\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{2}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b13f4ec253c00b1672f0c94c9bd0c391bb432ce)
![{\displaystyle {\frac {d^{3}f}{dx^{3}}}={\frac {d^{3}f}{dg^{3}}}\left({\frac {dg}{dx}}\right)^{3}+3{\frac {d^{2}f}{dg^{2}}}{\frac {dg}{dx}}{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dg}}{\frac {d^{3}g}{dx^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f61b026f31a5c6242a2eb08ec5ad49635040ab17)