Curva kappa

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La curva kappa presenta due asintoti verticali.

In geometria la curva kappa o curva di Gutschoven è una curva algebrica bidimensionale che assomiglia alla lettera dell'alfabeto greco κ (kappa).I due rami della curva hanno nell'origine un punto di contatto detto tacnodo.

Mediante le coordinate cartesiane essa può essere individuata dall'equazione:

x^4+x^2y^2 \,=\, a^2y^2

oppure dalle equazioni parametriche:


\begin{matrix}
x&=&a\cos t\\
y&=&a\cos t\,\cot t
\end{matrix}

In coordinate polari essa è data da una funzione molto semplice:

r \,=\, a\tan\theta

Essa presenta due asintoti verticali dati dalle equazioni x=\pm a, (nel grafico sono segnati come linee a trattini blu).

La curvatura delle curva kappa è:

\kappa(\theta)={8\left(3-\sin^2\theta\right)\sin^4\theta\over a\left[\sin^2(2\theta)+4\right]^{3\over2}}

L'angolo della sua tangente nel suo punto individuato come funzione della coordinata angolare θ è espresso da:

\phi(\theta)=-\arctan\left[{1\over2}\sin(2\theta)\right]

Delle quartiche razionali, categoria alla quale appartiene appunto la curva kappa, fanno parte le cosiddette "quartiche piriformi", secondo la definizione del matematico francese Guy de Longchamps a fine Ottocento.


Nel carteggio tra de Sluse e Huygens viene citata una curva proposta da Gerard von Gutschoven (primo a studiarla nel 1662 circa e da questi prese il nome). Tra gli altri matematici famosi che si sono occupati di essa vi sono Isaac Newton e Johann Bernoulli. Le sue tangenti sono state calcolate per la prima volta da Isaac Barrow nel XVII secolo.

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