Costante di Gauss

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Costante di Gauss
Simbolo G
Valore 0,8346268416740731862814297327990468...
(sequenza A014549 dell'OEIS)
Origine del nome Carl Friedrich Gauss
Frazione continua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]
(sequenza A053002 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti

In matematica, la costante di Gauss, indicata con la lettera G, è definita come il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e \sqrt{2}:

 G = \frac{1}{\mathrm{agm}(1, \sqrt{2})} = 0.8346268\dots

La costante prende il nome dal grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il quale il 30 maggio 1799 scoprì che:

 G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}}

e quindi:

 G = \frac{1}{2\pi}\beta( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2})

dove β indica la funzione Beta di Eulero.

La costante di Gauss non deve essere confusa con la costante gravitazionale di Gauss.

Relazioni con altre costanti[modifica | modifica wikitesto]

La costante di Gauss può essere usata per esprimere la funzione Gamma per 1/4:

 \Gamma( \tfrac{1}{4}) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } }

e, dato che π e Γ(1/4) sono algebricamente indipendenti, con Γ(1/4) irrazionale, la costante di Gauss è necessariamente un numero trascendente.

Costanti delle lemniscate[modifica | modifica wikitesto]

La costante di Gauss può essere ustata per definire le costanti delle lemniscate, la prima delle quali è:

 L_1\;=\;\pi G

e la seconda:

 L_2\,\,=\,\,\frac{1}{2G}

che compaiono nella ricerca della lunghezza d'arco di una lemniscata.

Altre formule[modifica | modifica wikitesto]

La seguente è una formula che esprime G in relazione alla funzione theta di Jacobi:

G = \theta_{01}^2(e^{-\pi})

così come la seguente serie, rapidamente convergente:

G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2.

La costante può anche essere espressa come prodotto infinito:

G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right).

La costante di Gauss ha come frazione continua  [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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