Base aurea

La base aurea è un sistema di numerazione posizionale non intero che utilizza il rapporto aureo (il numero irrazionale 1 + ${\sqrt {5}}$ /2 ≈ 1,61803399, simboleggiato dalla lettera greca φ) come sua base. Viene talvolta chiamato base φ o, in inglese, phinary. Qualsiasi numero reale non negativo può essere rappresentato come un numero in base φ utilizzando solo le cifre 0 e 1, ed evitando la sequenza di cifre "11": questa viene chiamata forma standard. Un numero in base φ che include la sequenza di cifre "11" può sempre essere riscritto in forma standard, utilizzando le proprietà algebriche della base φ, in particolare φ¹ + φ⁰ = φ². Ad esempio, 11_φ = 100_φ.

Nonostante utilizzi una base costituita da un numero irrazionale, quando si utilizza la forma standard, tutti i numeri interi non negativi hanno una rappresentazione univoca in base φ finita. L'insieme di numeri che possiedono una rappresentazione finita in base φ è l'anello Z[1 + ${\sqrt {5}}$ /2]; esso svolge lo stesso ruolo in questo sistema di numerazione che le frazioni diadiche svolgono nei numeri binari.

Altri numeri hanno rappresentazioni standard in base φ ed i numeri razionali hanno rappresentazioni periodiche.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Decimale	Potenze di φ	Base φ
1	φ⁰	1
2	φ¹ + φ⁻²	10,01
3	φ² + φ⁻²	100,01
4	φ² + φ⁰ + φ⁻²	101,01
5	φ³ + φ⁻¹ + φ⁻⁴	1000,1001
6	φ³ + φ¹ + φ⁻⁴	1010,0001
7	φ⁴ + φ⁻⁴	10000,0001
8	φ⁴ + φ⁰ + φ⁻⁴	10001,0001
9	φ⁴ + φ¹ + φ⁻² + φ⁻⁴	10010,0101
10	φ⁴ + φ² + φ⁻² + φ⁻⁴	10100,0101