Ammortamento a rate costanti

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1leftarrow blue.svgVoce principale: ammortamento.

L'ammortamento "francese" prevede che le rate siano posticipate e che la somma ricevuta dal debitore all'inizio (t = 0) sia il valore attuale di una rendita a rate costanti. Ciascuna rata è comprensiva di parte del capitale (quota capitale) ed i relativi interessi (quota interessi) calcolati sul capitale residuo non ancora restituito (debito residuo). Tale metodo è alternativo ai metodi di calcolo con rata anticipata e ai metodi italiano e tedesco a quota capitale costante e rata variabile.

Modalità di calcolo del piano di rimborso[modifica | modifica wikitesto]

È da dire che il piano di ammortamento "alla francese" o "a rate costanti" risulta realizzabile sia nel regime dell'interesse composto che, sotto alcune condizioni, nel regime dell'interesse semplice. Il metodo di gran lunga più utilizzato, che sarà anche quello qui analizzato, è quello che fa uso del regime dell'interesse composto: esso prevede il calcolo delle rate e di tutte le altre componenti del piano secondo il regime dell'interesse composto. Secondo il metodo francese la quota di interessi è più alta nel primo periodo e decresce nel corso dell'ammortamento, mentre, al contrario, la quota di capitale è più bassa all'inizio e cresce progressivamente (secondo una legge di progressione geometrica che è tipica della capitalizzazione composta). Per questo motivo l'ammortamento francese è anche detto "progressivo".

La specifica composizione delle due quote che compongono la rata determina una rata costante, ossia di importo sempre uguale per tutta la durata dell'ammortamento. Per questo motivo l'ammortamento francese è anche detto "a rata costante".

La formula di attualizzazione che determina l'importo della rata costante effettua una distribuzione di quote capitali di importo crescente e di quote interessi decrescenti secondo il regime di calcolo dell'interesse composto che, secondo alcuni Autori, non darebbe luogo ad anatocismo[1][2]. Tuttavia, sebbene l'argomento pare essere controverso dal punto di vista della Giurisprudenza, secondo alcuni Autori, la presenza di anatocismo nel piano di ammortamento alla francese (redatto in regime di interesse composto) risulta facilmente dimostrabile dal punto di vista matematico, dal momento che la quota interessi su ciascuna rata risulta determinata inglobando nel debito residuo gli interessi già pagati nei periodi precedenti e, per conseguenza, se si utilizza il regime composto per il calcolo della rata, l'anatocismo è inevitabile[3]. La presenza di anatocismo nei mutui dipende infatti dal regime finanziario utilizzato per la stesura del piano di ammortamento. L’utilizzo del regime della capitalizzazione composta genera il fenomeno anatocistico, in quanto caratterizzato da leggi finanziarie scindibili, al contrario del regime della capitalizzazione semplice che non genera anatocismo, in quanto caratterizzato da leggi finanziarie additive (e quindi non scindibili).[4] Di seguito si analizzerà la struttura del piano a rata costante realizzato nel regime dell'interesse composto (che è quello normalmente utilizzato),

La formula che determina l'importo della rata è la seguente:

dove R è la rata, C il capitale iniziale, i il tasso di interesse sul capitale residuo ed n il numero di rate. Il tasso di interesse, solitamente annuale, va eventualmente riportato alla stessa cadenza delle rate (es. se mensili va diviso per 12, se semestrali per 2 e così via).

Ad ogni scadenza è anche possibile ricalcolare la rata ponendo C pari al debito residuo ed n pari al numero di rate non ancora scadute. In questo modo si otterrà sempre la stessa rata costante calcolata all'inizio.

Per l'attualizzazione delle rate deve essere soddisfatto il vincolo di equivalenza finanziaria che in questo caso equivale a scrivere la seguente:

dove:

  • S è il capitale prestato,
  • è la quota capitale relativa alla k-esima rata
  • n il numero di rate

Considerando che l'importo attualizzato della quota capitale è

dove:

  • R è l'importo della rata,
  • i il tasso di interesse nominale del periodo,
  • l'indice k scorre dalla prima rata alla n-esima,
  • n-k+1 è il numero di rate non ancora scadute,

Si ha che:

Da questa formula, noti capitale prestato, tasso di interesse nominale e numero di rate, è possibile calcolare R.

corrisponde, dunque, alla quota capitale della k-esima rata:

Si desume dalla (3) che tra una quota e la precedente vale la seguente relazione:

Ne deriva che ciascuna quota capitale può essere scritta a partire dalla prima quota :

con k= 1,.., n.

Inoltre dalla (3) si ricava facilmente (impostando k=n):

e impostando k=1:

ne consegue per la quota capitale della rata k-esima:

con k= 1, 2,.., n.

A questo punto si può scrivere direttamente la formula per il debito residuo e quella per l'interesse in ciascun periodo k.

con k= 1, 2,.., n - 1

con k= 1, 2,.., n.

Notare che in ogni periodo vale

con k= 1, 2,.., n.

Dalla precedente formula risulta che la rata è sempre la somma della quota capitale del periodo , cioè , più gli interessi sul debito residuo del periodo precedente, cioè . La formula (3) della quota capitale si ricava infatti risolvendo

La quota interessi prevale nella prima metà del mutuo, per la restante durata prevale la quota capitale. Pertanto, in assenza di clausole penali che limitino la possibilità, le estinzioni anticipate, sia parziali che totali, con mutui a tasso fisso, consentono un risparmio di interessi maggiore, in quanto nei primi anni è preponderante nella rata il rimborso degli interessi. Dalle formule sopra è agevole constatare come ad ogni passaggio, il debito residuo risulti decrementato dell'importo della rata ed aumentato della quota interessi il che realizza proprio la capitalizzazione degli interessi.

L'anatocismo, nei rapporti a rimborso rateale che prevedono rate composte da quota capitale e quota interessi, è una condizione intrinseca che dipende alla metodologia stessa di redazione del piano. In effetti, ciò dipende dal fatto che, ogni qual volta viene corrisposta una rata, il debito residuo diminuisce della sola parte capitale per cui, indirettamente, viene capitalizzata anche la quota interessi nel calcolo della quota interessi della rata successiva. È possibile verificare l'anatocismo maturato nel piano di ammortamento anche mediante un tool di calcolo online[5]

Calcolo dell'interesse totale[modifica | modifica wikitesto]

Dalla (1) del paragrafo precedente si può ottenere l'interesse totale in funzione del numero di rate , del capitale iniziale e del tasso come:

dove rappresenta il totale rimborsato, a cui si sottrae il capitale iniziale.

Andamento dell'interesse totale[modifica | modifica wikitesto]

Le figure seguenti rappresentano un esempio di calcolo dell'interesse totale e della rata in funzione del numero di rate considerate () e del capitale iniziale (), applicando le formule (1), (4) e considerando un TAN del ().

Nel grafico, l'etichetta sui punti rappresenta la rata costante da rimborsare periodicamente , l'asse x il capitale iniziale , l'asse y l'interesse totale maturato alla fine del periodo di ammortamento . La tabella inferiore riporta i dati utilizzati per generare il grafico.

Andamento degli interessi totali e della rata con ammortamento a rate costanti al variare del numero di rate totale e del capitale iniziale. TAN 5.00 %
Calcolo degli interessi totali e della rata con ammortamento a rate costanti al variare del numero di rate totale e del capitale iniziale. TAN 5.00 %
Calcolo degli interessi totali e della rata con ammortamento a rate costanti al variare del numero di rate totale e del capitale iniziale. TAN 5.00 %
Andamento dell'interesse totale al variare di TAN e numero di rate. Capitale iniziale costante: 10,000 €

Modalità alternative di ammortamento a rate quasi-costanti[modifica | modifica wikitesto]

Esistono mutui con ammortamento "francese", ma a tasso variabile. In questi casi la rata viene ricalcolata al variare del tasso di interesse e sulla base del debito residuo. Tuttavia, in considerazione di quanto detto sopra per il calcolo della rata, questa è una distorsione del metodo di ammortamento "francese", che si basa su un modello matematico a tasso fisso. Tale metodo di calcolo a rata variabile è di uso comune nei mutui immobiliari, i quali, essendo per loro natura di lunga durata, espongono le parti al rischio di oscillazione dei tassi di interesse.

Esistono inoltre mutui a rata costante (calcolata secondo la formula dell'ammortamento "francese") e a tasso variabile. In questi casi la durata dell'ammortamento non è predeterminata, e il mutuatario non sa precisamente quando sarà estinto il debito. Se i tassi di interesse crescono, aumenta la durata del mutuo. In quest'ultima modalità di calcolo, in assenza di tetti sul tasso di interesse praticato, il peso della quota interessi può raggiungere il totale del valore della rata, rendendo di fatto il prestito inestinguibile (non rimborsando mai quote di capitale).

Calcolo numero di rate[modifica | modifica wikitesto]

Per il prestito alla francese si ha la seguente successione:

In cui è il debito al tempo zero,nei paragrafi precedenti veniva rappresentato da , la rata del mutuo, l'interesse e .


Il numero di rate si ricava impostando .


Per il caso particolare di si ha:

di conseguenza


Per si ha:

e il debito diverge in maniera esponenziale.


Nel caso generale si ha:

Che dal punto di vista matematico equivale a dire di avere un debito esponenziale meno il credito che si sta creando con l'inserimento delle rate, al medesimo tasso di interesse.

rappresenta la prima rata versata a cui viene corrisposto un credito a interesse esponenziale e rappresenta l'ultima rata.

Continuando:

Escludendo che rappresenta l'interesse uguale a zero, formula (7),per la serie geometrica si ha:

Questa formula è equivalente alla formula (1).

Continuando con i calcoli per trovare si ha:

Che implica:

Che applicando il logaritmo e ricavando per diventa:

.

che si può scrivere come:

In cui rappresenta la prima quota capitale.

Moltiplicando ambi i lati per la rata si ha il totale dovuto:

Supponendo di avere fissare la rata a 6000 annui e un tasso di interesse del 10% annuo

Capitale richiesto Anni per ripagare il mutuo Capitale dovuto Rapporto tra capitale dovuto e capitale richiesto
10000

11000

12000

13000

14000

15000

16000

17000

18000

19000

20000

21000

22000

23000

24000

25000

26000

27000

28000

29000

30000

31000

32000

33000

34000

35000

36000

37000

38000

39000

40000

41000

42000

43000

44000

45000

46000

1,912928474

2,124896h465

2,341235236

2,562128841

2,787773208

3,018377187

3,25416371

3,495371084

3,742254444

3,995087369

4,25416371

4,519799637

4,792335965

5,072140778

5,359612424

5,655182918

5,959321856

6,272540897

6,595398946

6,928508152

7,272540897

7,628237967

7,996418154

8,377989611

8,773963347

9,185469371

9,613776133

10,06031411

10,52670461

11,01479534

11,52670461

12,06487686

12,63215332

13,23186275

13,86793984

14,54508179

15,26895905

11.477,57

12.749,38

14.047,41

15.372,77

16.726,64

18.110,26

19.524,98

20.972,23

22.453,53

23.970,52

25.524,98

27.118,80

28.754,02

30.432,84

32.157,67

33.931,10

35.755,93

37.635,25

39.572,39

41.571,05

43.635,25

45.769,43

47.978,51

50.267,94

52.643,78

55.112,82

57.682,66

60.361,88

63.160,23

66.088,77

69.160,23

72.389,26

75.792,92

79.391,18

83.207,64

87.270,49

91.613,75

1,147757

1,159034545

1,1706175

1,182520769

1,19476

1,207350667

1,22031125

1,233660588

1,247418333

1,261606316

1,276249

1,291371429

1,307000909

1,323166957

1,339902917

1,357244

1,375228077

1,393898148

1,413299643

1,433484483

1,454508333

1,476433226

1,499328438

1,523270909

1,548346471

1,574652

1,602296111

1,631402162

1,662111316

1,694583846

1,72900575

1,765591707

1,804593333

1,846306512

1,891082727

1,939344222

1,991603261

A parità di interese e rata la differenza tra due debiti, con può essere essepressa come:

La formula significa che la differenza tra due debiti è data dalla differenza iniziale dei due debiti moltiplicata l'interesse elevato al numero di rate per cui si elimina il primo debito, il tutto da scontare a rate costanti.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Calcolatrice rata costante https://www.finanzainitaliano.it/contenuti/calcolatore-rata.htm

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Dr. Umberto Tranfaglia e Ing. Francesco Rossi, Ammortamento Francese e Anatocismo, su cloudfinance.it, Cloud Finance. URL consultato il 18 luglio 2015.
  2. ^ Dott. Walter Giacomo Caturano, AMMORTAMENTO ALLA FRANCESE: non viola il divieto di anatocismo ex art.1283 cc, su expartecreditoris.it, ex parte creditoris. URL consultato il 18 luglio 2015 (archiviato dall'url originale il 22 luglio 2015).
  3. ^ Dott. Antonio Aghilar, Ammortamento Francese e Anatocismo, su verifichefinanziamenti.it. URL consultato il 15 settembre 2018.
  4. ^ Prof. Antonio Annibali, Anatocismo nei mutui, su attuariale.eu, Atturiale.eu. URL consultato il 15 settembre 2018.
  5. ^ Tool di calcolo software anatocismo mutuo, su calcoloanatocismousura.it.


Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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