Teoremi di Gershgorin

In matematica, i teoremi di Gershgorin sono alcuni teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso. Il loro nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gershgorin.

Cerchi di Gershgorin

Una definizione di basilare importanza nella comprensione di questi teoremi è quella di cerchio di Gershgorin.

Sia $A=(a_{ij})$ una matrice in $\mathbb {C} ^{n\times n}$. Si consideri l'elemento $i$-esimo $a_{ii}$ della diagonale principale di $A$ e la somma dei moduli degli elementi della riga $i$-esima fuori della diagonale:

$R_{i}(A)=\sum _{j=1,\,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$

Queste due quantità individuano il sottoinsieme del piano complesso:

$K_{i}:=\{z\in \mathbb {C} :|z-a_{ii}|\leq R_{i}(A)\},$

corrispondente ad un disco di raggio $R_{i}(A)$ centrato in $a_{ii}$, che viene detto $i$-esimo cerchio di Gershgorin della matrice $A$.

Primo teorema di Gershgorin

Sia $A$ una matrice come sopra. Allora gli autovalori di $A$ appartengono alla regione del piano complesso individuata dall'intersezione tra l'unione dei cerchi riga e l'unione dei cerchi colonna $A$. In formule:

$\sigma (A)\subset \bigcup _{i=1}^{n}K_{i}.$

Dimostrazione: sia $\lambda$ un autovalore di $A$ e sia $\mathbf {x} =(x_{j})$ l'autovettore corrispondente. Scegliamo $i\in \{1,\dots ,n\}$ in modo che $|x_{i}|=\max _{j}|x_{j}|$. Questo equivale a dire: scegliere $i$ in modo che $x_{i}$ sia la più grande coordinata, in modulo, del vettore $\mathbf {x}$. Allora $|x_{i}|>0$ altrimenti $\mathbf {x} =0$. Poiché $\mathbf {x}$ è un autovettore, $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$ e quindi:

$\sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}.$

Allora, scomponendo la somma otteniamo

$\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.$

Possiamo dividere entrambi i membri per $x_{i}$ (scegliendo $i$ come sopra abbiamo che $x_{i}\neq 0$) e passando ai moduli otteniamo

$|\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i},$

dove l'ultima disuguaglianza vale poiché

$\left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq 1\quad {\text{per }}j\neq i.$

Secondo teorema di Gershgorin

Detta

$M_{1}:=\bigcup _{i=1}^{k}K_{i}$

e

$M_{2}:=\bigcup _{i=k+1}^{n}K_{i}.$

Se $M_{1}\cap M_{2}=\varnothing ,$ allora esattamente $k$ autovalori appartengono a $M_{1}$ e i restanti $n-k$ appartengono a $M_{2}.$ Questo ha delle importanti implicazioni come ad esempio il fatto che un cerchio disgiunto da tutti gli altri debba per forza contenere un solo autovalore, e in quanto unico, tale autovalore sarà per forza di cose reale perché se fosse complesso, allora nello stesso cerchio dovrebbe trovarsi anche il suo autovalore complesso coniugato, negando quindi quanto appena detto sull'unicità dell'autovalore presente in un cerchio disgiunto da tutti gli altri.

Terzo teorema di Gershgorin

Se la matrice $A$ è irriducibile ed esiste un autovalore $\lambda$ di $A$ contenuto in $\partial \left(\bigcup _{i=1}^{n}K_{i}\right)$ allora $\lambda$ sta sulla frontiera di ogni $K_{i},$ con $i=1,2,\ldots n.$ Anche questo teorema porta naturalmente delle interessanti implicazioni, perché sapendo se lo zero può o non può essere un autovalore della matrice, allora si può già trarre conclusioni sulla (non-)singolarità della matrice.

Bibliografia

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1988.