Teorema di Menelao

Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.

Enunciato

Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:

$\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1.$

In questa equazione, $AF$, $FB$, etc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione $AF/FB$ ha segno positivo solo quando la retta per $D$, $E$ ed $F$ interseca il lato $AB$.

Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:

$AB=-BA$

Dimostrazione

Teorema di Menelao, caso 1: la retta DEF non interseca il triangolo ABC.

Teorema di Menelao, caso 2: la retta DEF interseca il triangolo ABC.

Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta $DEF$ non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta $DEF$ interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).

Si costruiscano le perpendicolari da $A$, $B$ e $C$ su $DEF$, le chiamo rispettivamente $a$,$b$ e $c$. Ora per similitudine di triangoli, segue che:

$\left|\frac{AF}{FB}\right| = \left|\frac{a}{b}\right| \ ,\ \left|\frac{BD}{DC}\right| = \left|\frac{b}{c}\right| \ ,\ \left|\frac{CE}{EA}\right| = \left|\frac{c}{a}\right|$

Cioè:

$\left|\frac{AF}{FB}\right| \cdot \left|\frac{BD}{DC}\right| \cdot \left|\frac{CE}{EA}\right| = \left| \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \right| = 1$

Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.

Per l'altro verso dell'implicazione:

siano $D ,\ E$ ed $F$ appartenenti rispettivamente alle rette $BC ,\ AC$ e $AB$, in modo che l'equazione valga. Sia $F'$ il punto in cui le rette $DE$ ed $AB$ si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche $D ,\ E$ ed $F'$ verificano l'equazione. Confrontandole:

$\frac{AF}{FB} = \frac{AF'}{F'B}$

Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:

$F = F'.$

Voci correlate

• Teorema di Ceva

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