Rendita finanziaria

Una rendita finanziaria è una successione di importi, chiamate rate, da riscuotere (o da pagare) in epoche differenti, chiamate scadenze, ad intervalli di tempo determinati.

Una rendita S è quindi individuata da 3 argomenti:

$R_k\;$ : rata da riscuotere (o da pagare) alla scadenza $t_k\;$

$t_k\;$ : scadenza, cioè il momento all'interno del k-esimo intervallo in cui viene riscossa (o pagata) la rata $R_k\;$

$n\;$: numero di rate totali

e si può indicare con $S= ( R_k , \; t_k\;)$ dove $k \;=0,1,2,...,n$

Classificazione delle rendite

Una rendita può essere classificata in base alle caratteristiche dei suoi argomenti:

$\mathbf{n}$ : numerosità delle rate

• Se n è un numero finito la rendita si chiama temporanea
  • Se n è stabilito a priori ed è indipendente da qualsiasi evento la rendita temporanea si dice certa
  • Se invece n non è stabilito a priori e dipende, ad esempio, dall'esistenza in vita di una persona si dice vitalizia

• Se n è infinito la rendita si chiama perpetua

$\mathbf{t_{k}}$ : periodicità e scadenza

• Se le scadenze sono separate da un intervallo di tempo uguale la rendita è periodica e la quantità $p\; =\;t_k\;-\;t_{k-1}$ corrisponde a un periodo:
  • Se p = 1 mese la rendita è detta mensile, se p = 1 anno la rendita è detta annuale, se p = 3 mesi la rendita è detta trimestrale e così via.

• Se la scadenza è fissata all'inizio di un intervallo di tempo la rendita è anticipata
• Se la scadenza è fissata al termine di un intervallo la rendita è posticipata

$\mathbf{R_{k}}$ : decorrenza

• Se la prima rata viene riscossa (o pagata) all'inizio la rendita è detta immediata.

• Se la prima rata viene riscossa (o pagata) a cominciare da un certo istante $\;t_p$ successivo a $\;t_0$, la rendita si dice differita di un periodo p.

Esempio:

È evidente che una rendita anticipata differita di un periodo p coincide con una rendita posticipata differita di un periodo p-1

• Una rendita può essere infine a rata costante se tutte le rate non nulle hanno lo stesso valore, oppure a rata variabile se non hanno lo stesso valore

Valore di una rendita

Il valore $\;V(t_j)$ di una rendita finanziaria all'istante $\;t_j$ è la somma dei montanti delle rate con scadenze antecedenti a $\;t_j$, dei valori attuali delle rate con scadenze successive a $\;t_j$, ed eventualmente della rata $\;R_j$ con scadenza $\;t_j$

Nel caso più generale quindi:

$V(t_j) = \sum^{j-1}_{k=0} R_k \; f(t_j\;-\;t_k)\;+\; R_j \; + \sum^{n}_{k=j+1}R_k \; g(t_k\;-\;t_j)$

dove

$f(t_j\;-\;t_k)$ è il Fattore di montante e $g(t_k\;-\;t_j)$ è il Fattore di sconto nel regime di capitalizzazione prescelto.

Valore attuale di una rendita

Il valore attuale di una rendita è il valore $\;V(t_0)$ calcolato al tempo $\;t=t_0$ ed equivale alla somma dei valori attuali delle singole rate della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Regime di capitalizzazione composta

Nel caso di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti, nel regime di sconto composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\; p= t_{k+1}-t_k$, è $\;i$, il fattore di sconto per un periodo p è

$g(t_k-t_0)=\frac{1}{(1+i)^k}$

quindi

$\; V(t_0)=\sum^{n}_{k=0}R_k \; g(t_k\;-\;t_0)= \; \sum^{n}_{k=0}R_k \; \frac{1}{(1+i)^k}$

essendo la rendita posticipata immediata e a rata costante: $\;R_{0}=0 \quad$ e $\;R_{1}=R_{2}=...=R_{n}=R$

$\; V(t_0)= R\; \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{(1+i)^k}$

osservando che

$\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{(1+i)^k}$ è una serie geometrica di ragione $v=\frac{1}{(1+i)}$

e sapendo che per una serie geometrica

$\sum^{n}_{k=1}v^k\; =\; v\; \frac{1-v^n}{1-v}\;=\;\left( \frac{1}{1+i}\right) \;\frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{1-\frac{1}{1+i}}\; = \; \frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{i}= a_{n^\urcorner i}$

Si consideri infatti una rendita periodica posticipata di n rate unitarie, quindi con $\;R=1$; il suo valore attuale si indica con $a_{n^\urcorner i}$ (da leggersi come a posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

$a_{n^\urcorner i}= \frac{1-(\frac{1}{1+i})^{n}}{i}= \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$

quindi il valore attuale $\; V(t_0)$ di una generica rendita di n rate $\; R$ costanti e posticipate si può scrivere

$\; V(t_0)= R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}= R\cdot a_{n^\urcorner i}$

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con n pagamenti periodali anticipati; il suo valore attuale si indica con $\ddot{a}_{n^\urcorner i}$ (da leggersi come a anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

$\ddot{a}_{n^\urcorner i}= \frac{1-(\frac{1}{1+i})^{n}}{\frac{i}{1+i}}= \frac{1-(1+i)^{-n}}{i(1+i)^{-1}}= \frac{(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}$

quindi il valore attuale $\; V(t_0)$ della generica rendita di n rate $\;R$ costanti e anticipate si può scrivere

$\; V(t_0)= R\cdot\frac{(1+i)[1-(1+i)^{-n}]}{i}= R\cdot\ddot{a}_{n^\urcorner i}$

Montante di una rendita

Il montante di una rendita è il valore $\;V(t_n)$ calcolato al tempo $\;t=t_n$ ed equivale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

Regime di capitalizzazione composta

Nel caso del montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate, nel regime a interesse composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\; p= t_{k+1}-t_k$, è $\;i$, il fattore di montante è

$\;f(t_n-t_k)=(1+i)^{n-k}$

quindi

$\; V(t_n)=\; \sum^{n}_{k=0}R_k\; f(t_n\;-\;t_k)= \; \sum^{n}_{k=0}R_k\; (1+i)^{n-k}$

essendo la rendita anticipata immediata e a rata costante l'ultima rata viene pagata all'istante $t_{n-1}$, quindi $\;R_n=0$, e $\;R_{0}=R_{1}=R_{2}=...=R_{n-1}=R$

$V(t_n)=\;R \;\left[(1+i)^n+(1+i)^{n-1}+....+(1+i)\right]\;=\;R\; \sum^{n}_{k=1}\; (1+i)^{k}$

osservando che

$\sum^{n}_{k=1}\; (1+i)^{k}$ è una serie geometrica di ragione $\;r=(1+i)$

e sapendo che per una serie geometrica

$\sum^{n}_{k=1}r^k\; = \;r\; \frac{1-r^n}{1-r}\; = \;(1+i)\frac{1-(1+i)^n}{1-(1+i)} = \;(1+i)\frac{1-(1+i)^n}{-i} = \;(1+i)\frac{(1+i)^n-1}{i} = \ddot{s}_{n^\urcorner i}$

Si consideri infatti una rendita periodica anticipata di $\;n$ rate unitarie, quindi con $\;R=1$; il suo montante si indica con $\ddot{s}_{n^\urcorner i}$ (da leggersi come s anticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

$\ddot{s}_{n^\urcorner i} = \frac{(1+i)^{n}-1}{\frac{i}{1+i}} = (1+i)\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i} = \frac{(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i}$

quindi il montante $\; V(t_n)$ di una generica rendita di $\;n$ rate $\;R$ costanti e anticipate si può scrivere

$\; V(t_n) = R\cdot\frac{(1+i)[(1+i)^{n}-1]}{i} = R\cdot\ddot{s}_{n^\urcorner i}$

Si consideri ora il caso di una rendita, sempre periodica e unitaria, ma questa volta con $\;n$ pagamenti periodali posticipati; il suo montante si indica con $s_{n^\urcorner i}$ (da leggersi come s posticipato, figurato n, al tasso i). In simboli:

$s_{n^\urcorner i} = \frac{(1+i)^{n}-1}{i}$

quindi il montante $\;V(t_n)$ della generica rendita di $\;n$ rate $\;R$ costanti e posticipate si può scrivere

$\; V(t_n)= R\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}= R\cdot s_{n^\urcorner i}$

Valore attuale di una rendita con rate variabili

Nelle sezioni precedenti si è visto che se i pagamenti sono periodici (annui, semestrali, ecc.) e le rate costanti è possibile ricavare formule in forma chiusa per il valore attuale e il montante di una rendita. Tuttavia, nella realtà, le rate possono variare. Se le rate sono variabili ma si ha periodicità delle scadenze e se le rate variano in modo "regolare", si possono ancora ricavare delle formule chiuse. Qui di seguito vengono proposti alcuni casi notevoli, nell'ipotesi di pagamenti annui posticipati.

Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione aritmetica

Una rendita annua posticipata a rate variabili, con rate in progressione aritmetica di ragione $\Delta \in \mathbb{R}$ e prima rata $\displaystyle R$ (con la condizione che $R+(n-1)\Delta \geq 0$), ha valore attuale

$A:=Rv+(R+\Delta)v^2+\cdots+(R+(n-1)\Delta)v^n=\sum_{k=1}^n (R+(k-1)\Delta)v^k.$

dove $v=\frac{1}{1+i}$.

Allora si ha: $A=R(v+v^2+\cdots+v^n)+\Delta(v^2+2v^3+\cdots+(n-1)v^n).$

La sommatoria tra parentesi del primo addendo è il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata che già conosciamo. Sviluppiamo la sommatoria tra parentesi del secondo addendo. Scriviamo:

$S=v^2+2v^3+\cdots+(n-1)v^n$

$(1+i)S=v+2v^2+\cdots+(n-1)v^{n-1}.$

Consideriamo la differenza tra la seconda e la prima identità:

$iS=v+v^2+\cdots+v^{n-1}+v^n-nv^n$ $\Rightarrow S=\frac{a_{\bar{n}|i}-nv^n}{i}.$

Quindi il valore attuale è:

$A=Ra_{\bar{n}|i}+\Delta\frac{a_{\bar{n}|i}-nv^n}{i}.$

Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:

$\lim_{n\to+\infty} Ra_{\bar{n}|i}+\Delta\frac{a_{\bar{n}|i}-nv^n}{i}=\frac{R}{i}+\frac{\Delta}{i^2}.$

Valore attuale di una rendita con rate variabili in progressione geometrica

Una rendita annua posticipata di rata $\displaystyle R>0$, variabile in progressione geometrica di ragione $\displaystyle q>0$, ha valore attuale:

$A:=Rv+Rqv^2+\cdots+Rq^{n-1}v^n=\sum_{k=1}^n Rq^{k-1}v^k.$

Osserviamo che, se $\displaystyle qv=1$, allora:

$A=\underbrace{Rv+Rv+\cdots+Rv}_{n\text{ volte}}=nRv.$

Se invece $qv\neq 1$, allora - raccogliendo $\displaystyle Rv$ a fattor comune - si ha:

$A=Rv\left(1+qv+\cdots+(qv)^{n-1}\right).$

In parentesi riconosciamo la somma di $\displaystyle n$ termini in progressione geometrica di ragione $\displaystyle qv$, e quindi:

$A=Rv\frac{1-(qv)^n}{1-qv}.$

Nel caso la rendita fosse perpetua, passando al limite si ha:

$\lim_{n\to+\infty} Rv\frac{1-(qv)^n}{1-qv}=\frac{R}{u-q},$

dove $\displaystyle u=1+i.$