Piani reticolari

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Vari piani reticolari di un reticolo cubico

In cristallografia, un piano reticolare è un piano contenente almeno tre punti non collineari del reticolo di Bravais. A causa della dimensione infinita del cristallo automaticamente ognuno di tali piani contiene infiniti punti del reticolo tridimensionale e costituisce un reticolo di Bravais bidimensionale. Si definisce famiglia di piani reticolari un insieme di piani reticolari paralleli ed egualmente spaziati, che contenga quindi tutti i punti del reticolo di Bravais tridimensionale. In figura vengono schematicamente mostrate alcuni piani reticolari di un reticolo cubico.

Una famiglia di piani reticolari è caratterizzata dalla distanza tra i piani d\ e dal versore normale \hat n\ al generico piano cioè il vettore:

\mathbf{k}_d=\frac {2\pi }d\hat n\

è un vettore del reticolo reciproco che quindi identifica in maniera univoca una famiglia di piani.

Tale affermazione si dimostra facilmente:

Scegliamo un sistema di coordinate cartesiane tale che l'origine sia su un punto del reticolo. Esisterà sempre un piano reticolare 1\ tale che il generico vettore \mathbf{r}_1\ che congiunge un punto del piano reticolare all'origine è tale che:

\mathbf{k}_d\cdot \mathbf{r}_1=0\

Ma un generico altro punto dello spazio, appartenente alla famiglia, ed ubicato sul piano che dista sd\ dal primo piano (dove s\ è un intero positivo o negativo) dista dall'origine:

\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_1+sd\hat n\

Il prodotto scalare di tale vettore con \vec k_d\ vale:

\mathbf{k}_d\cdot (\mathbf{r}_1+sd\hat n)=s2\pi\

Quindi:

e^{i\mathbf{k}_d\cdot \mathbf{r}_i}=1\

Essendo \mathbf{r}_i\ un generico vettore del reticolo di Bravais tale condizione è proprio la definizione di vettore del reticolo reciproco. Notare come i vettori \mathbf{r}_i\ ricoprano tutto il reticolo diretto.

Ovviamente si può ragionare in maniera duale e partire da un generico vettore del reticolo reciproco \mathbf{G}\ e dire che ad esso è associata una famiglia di piani ad esso perpendicolari di distanza pari a d=(2\pi )/|K|\ .

Notare che va considerato il vettore del reticolo reciproco più corto in una certa direzione, infatti se ho un vettore \mathbf{G}_d\ del reticolo reciproco il più corto in una certa direzione uno \mathbf{G}_l\ m\ volte più grande sarà:

\mathbf{G}_l=m\mathbf{G}_d\

con m\ intero.

Avendo mostrato che la famiglia di piani associata il vettore \mathbf{G}_d\ ricopre tutto lo spazio con una famiglia di piani di spaziatura d=(2\pi )/|K|\ . La famiglia di piani associato a \mathbf{G}_l\ ha una spaziatura d/m\ e quindi descrive un reticolo con più punti di quello reale.

Consideriamo un generico vettore \mathbf{G}_d\ (il più corto nella sua direzione) sarà tale che:

\mathbf{G}_d=h\mathbf{b}_1+k\mathbf{b}_2+l\mathbf{b}_3\

Alle famiglie di piani si associano gli indici di Miller, le coordinate del vettore del reticolo reciproco associato (in parentesi tonda):

(h,k,l)\


Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, "Solid State Physics", Holt-Sanunder, 1981.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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