Reticolo reciproco

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In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco del reticolo di Bravais è un insieme di vettori \mathbf{k} che generano un reticolo di Bravais nello spazio dei momenti. L'onda piana il cui vettore d'onda sia \mathbf{k} ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un set di punti \mathbf{R}\ che costituiscono un reticolo di Bravais ed una onda piana definita da e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\ . Tale onda piana per alcuni valori di \mathbf{k}\ ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda \mathbf{K}\ che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

e^{i\mathbf{K}\cdot (\mathbf{r}+\mathbf{R})}=e^{i\mathbf{K}\cdot \mathbf{r}}

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi \mathbf{r}\ segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1

per tutti i punti R del reticolo di Bravais.

Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è anche un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.

Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:

\mathbf{K} = m_{1}\mathbf{b}_{1} + m_{2}\mathbf{b}_{2} + m_{3}\mathbf{b}_{3}

dove m_{i}\ sono numeri interi e \mathbf{b}_{i}\ sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una lunghezza^{-1}\ .

Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi  (\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \mathbf{a_{3}}) , (che non sono univoci) esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:

\mathbf{b_{1}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}
\mathbf{b_{2}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{3}} \times \mathbf{a_{1}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}
\mathbf{b_{3}}=2 \pi \frac{\mathbf{a_{1}} \times \mathbf{a_{2}}}{\mathbf{a_{1}} \cdot (\mathbf{a_{2}} \times \mathbf{a_{3}})}.

I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.

Esempi di reticoli reciproci[modifica | modifica wikitesto]

Cubico semplice[modifica | modifica wikitesto]

Se scelgo come vettori primitivi dello spazio diretto

\mathbf{a_1} = a\mathbf{i}\qquad \mathbf{a_2} = a\mathbf{j}\qquad \mathbf{a_3} = a\mathbf{k}

Allora essendo:

V= \mathbf{a_1} \cdot (\mathbf{a_2}\times \mathbf{a_3})=a^3\

i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:

\mathbf{b_1} = \frac {2\pi} a\mathbf{i}\qquad \mathbf{b_2} = \frac {2\pi} a\mathbf{j}\qquad \mathbf{b_3} = \frac {2\pi} a\mathbf{k}

Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare 2\pi /a\ .

Reticolo cubico a corpo centrato[modifica | modifica wikitesto]

Se scelgo come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):

\mathbf{a_1} = \frac a2(\mathbf{j}+\mathbf{k}-\mathbf{i})\
\mathbf{a_2} = \frac a2(\mathbf{k}+\mathbf{i}-\mathbf{j})\
\mathbf{a_3} = \frac a2(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})\

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

\mathbf{b_1} = \frac {2\pi }a(\mathbf{j}+\mathbf{k})\
\mathbf{b_2} = \frac {2\pi }a(\mathbf{k}+\mathbf{i})\
\mathbf{b_3} = \frac {2\pi }a(\mathbf{i}+\mathbf{j})\

Reticolo cubico a facce centrate[modifica | modifica wikitesto]

Se scelgo come vettori primitivi dello spazio diretto:

\mathbf{a_1} = \frac a2(\mathbf{j}+\mathbf{k})\
\mathbf{a_2} = \frac a2(\mathbf{k}+\mathbf{i})\
\mathbf{a_3} = \frac a2(\mathbf{i}+\mathbf{j})\

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

\mathbf{b_1} = \frac {2\pi }a(\mathbf{j}+\mathbf{k}-\mathbf{i})\
\mathbf{b_2} = \frac {2\pi }a(\mathbf{k}+\mathbf{i}-\mathbf{j})\
\mathbf{b_3} = \frac {2\pi }a(\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k})\

Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare 2\pi /a\ .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, "Solid State Physics", Holt-Saunders Japan, 1976.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]