Reticolo di Bravais

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In geometria e in cristallografia, un reticolo di Bravais (dal francese Auguste Bravais che per primo lo descrisse, nel 1848[1]) è un insieme infinito di punti con una disposizione geometrica che è sempre la stessa in tutto lo spazio. I punti del reticolo sono costituiti da una "base" (racchiusa all'interno di una cella unitaria), cioè da un insieme di uno o più entità molecolari (atomi, molecole o ioni), per cui la struttura atomica dei cristalli è definita dal reticolo e dalla base del reticolo.[2]

La teoria dei gruppi permette di definire il numero di reticoli di Bravais possibili per ogni dimensione dello spazio.

I cinque reticoli cristallini in due dimensioni: obliquo, rettangolare, rettangolare centrato, esagonale e quadrato

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si ponga l'origine degli assi cartesiani su un qualsiasi punto del reticolo, ogni punto è individuato da un vettore. Un reticolo di Bravais è generato da operazioni di traslazione nello spazio di un insieme di vettori, detti vettori primitivi. I vettori primitivi sono linearmente indipendenti e la loro scelta non è univoca.

La definizione generale di reticolo di Bravais \mathbf{R} in d dimensioni è:

\mathbf{R} = \sum_{i=1}^d n_{i}\mathbf{a}_{i}

dove n_{i}\ sono numeri interi e \mathbf{a}_{i} i vettori primitivi del reticolo.

Il reticolo in una dimensione è unico e definito dall'equazione:

\mathbf{R} = n_{1}\mathbf{a}_{1}

In due dimensioni il reticolo viene definito dall'equazione:

\mathbf{R} = n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2}

con \mathbf{a}_{1}\ e \mathbf{a}_{2}\ , i vettori primitivi, che non sono paralleli. In due dimensioni esistono cinque reticoli di Bravais: obliquo, rettangolare, rettangolare centrato, esagonale e quadrato. In realtà vi sono quattro sistemi cristallini, in quanto il rettangolare ed il rettangolare centrato appartengono allo stesso sistema cristallino.

Il reticolo in tre dimensioni viene definito dall'equazione:

\mathbf{R} = n_{1}\mathbf{a}_{1} + n_{2}\mathbf{a}_{2} + n_{3}\mathbf{a}_{3}

con \mathbf{a}_{1}\ , \mathbf{a}_{2}\ e \mathbf{a}_{3}\ i vettori primitivi, che non sono complanari.

Cella primitiva[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi cella primitiva.

Si definisce cella primitiva unitaria di un reticolo un volume di spazio che, traslato attraverso tutti i vettori di un reticolo di Bravais, riempie completamente il reticolo senza sovrapposizioni e senza lasciare spazi vuoti. Una cella primitiva contiene un solo punto del reticolo, ed ha stessa simmetria del reticolo.

Nel caso tridimensionale, conoscendo il volume, è possibile determinare la densità del solido:

n=\frac mV\

Dove m\ è la massa della base e V\ è il volume della cella unitaria. Da un punto di vista geometrico si dimostra che detti \mathbf{a}_{1}\ , \mathbf{a}_{2}\ , \mathbf{a}_{3}\ ,i vettori primitivi il volume della cella unitaria sia:

V=\mathbf{a}_{1}\cdot \mathbf{a}_{2}\times \mathbf{a}_{3}\

Nel caso tridimensionale per un reticolo sc\ la scelta più banale è quella di un cubo di lato a\ .

Tutto lo spazio di un reticolo può essere riempito con celle convenzionali senza sovrapposizioni quando viene traslato attraverso un sottoinsieme dei vettori del reticolo di Bravais.

Costruzione della cella di Wigner-Seitz per un reticolo di Bravais esagonale (bdidimensionale)

Cella primitiva di Wigner-Seitz[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi cella di Wigner-Seitz.

La cella di Wigner-Seitz attorno ad un punto di un reticolo di Bravais è la cella primitiva che gode di tutte le proprietà di simmetria della struttura.

Reticolo reciproco[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Reticolo reciproco.

Consideriamo un set di punti \mathbf{R}\ che costituiscono un reticolo di Bravais ed una onda piana, definita da e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}\ . Tale onda, per alcuni valori di \mathbf{k}\ , ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda \mathbf{K}\ che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

e^{i\mathbf{K}\cdot (\mathbf{r}+\mathbf{R})}=e^{i\mathbf{K}\cdot \mathbf{r}}

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi \mathbf{r}\ segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

e^{i\mathbf{K}\cdot\mathbf{R}}=1

per tutti i punti R del reticolo di Bravais.

Classificazione[modifica | modifica wikitesto]

I reticoli di Bravais si classificano in base alla forma della cella convenzionale, dove a ciascuna forma corrisponde ad uno dei sette sistemi cristallini, e alla presenza o meno di punti del reticolo al centro del corpo o delle facce di questa.

I sette sistemi cristallini sono:

e la centratura del reticolo può essere:

  • primitiva (P): nessun punto oltre ai vertici della cella
  • a corpo centrato (I): un punto al centro della cella
  • a facce centrate (F): un punto al centro di ogni faccia
  • con una faccia centrata (A, B o C): un punto al centro delle due facce in una sola direzione

Non tutte le combinazioni sistema cristallino-centratura danno però luogo a differenti tipi di reticolo, in quanto alcune di queste sono equivalenti: ad esempio, un reticolo monoclino I è equivalente a un reticolo monoclino C cambiando la scelta dei vettori di base.

In tre dimensioni vi sono 14 tipi di reticolo di Bravais,[1] riportati di seguito. Per quanto riguarda la sigla con cui vengono identificati si usa normalmente la notazione che deriva dall'inglese.

Reticolo di Bravais Sistema cristallino Cella convenzionale VC/VP (*) Generatori Caratteristiche Sigla
Cubico P (semplice) Cubico
a=b=c
α=β=γ=90°
Cubic crystal shape.png 1 a1 = a
a2 = b
a3 = c
Il lato della cella è pari al doppio del raggio atomico dell'elemento considerato; si può pensare che gli atomi siano rappresentati da sferette rigide e che la cella elementare sia formata da sferette a contatto lungo gli spigoli del cubo. Il rapporto tra lo spazio occupato dalle sferette e il volume della cella dà il fattore di impaccamento di 0,52. sc
Cubico I (a corpo centrato) Cubic-body-centered.png 2 a1 = a
a2 = b
a3 = (a+b+c)/2
la struttura cubica a corpo centrato contiene un atomo all'interno della struttura cubica. Le sferette sono a contatto solo lungo le diagonali della cella cubica. Il fattore di impaccamento è 0,68. bcc
Cubico F (a facce centrate) Cubic, face-centered.png 4 a1 = (a+b)/2
a2 = (a+c)/2
a3 = (b+c)/2
La struttura cubica a facce centrate è costituita da celle elementari che contengono su ogni faccia della struttura cubica un atomo. Il parametro reticolare si allarga ancora rispetto alle precedenti. Il fattore di impaccamento è 0,74. fcc
Tetragonale P (semplice) Tetragonale
a=b
α=β=γ=90°
Tetragonal.png 1 a1 = a
a2 = b
a3 = c
st
Tetragonale I (a corpo centrato) Tetragonal-body-centered.png 2 a1 = a
a2 = b
a3 = (a+b+c)/2
bct
Ortorombico P (semplice) Ortorombico
α=β=γ=90°
Orthorhombic.png 1 a1 = a
a2 = b
a3 = c
so
Ortorombico I (a corpo centrato) Orthorhombic-body-centered.png 2 a1 = a
a2 = b
a3 = (a+b+c)/2
orc
Ortorombico F (a facce centrate) Orthorhombic-face-centered.png 4 a1 = (a+b)/2
a2 = (a+c)/2
a3 = (b+c)/2
orc
Ortorombico C (a base centrata) Orthorhombic-base-centered.png 2 a1 = a
a2 = (a+b)/2
a3 = c
orc
Monoclino P (semplice) Monoclino
α=γ=90°
Monoclinic.png 1 a1 = a
a2 = b
a3 = c
mcl
Monoclino C (a base centrata) Monoclinic-base-centered.png 2 a1 = a
a2 = (a+b)/2
a3 = c
mcl
Triclino Triclino a≠b≠c Triclino 1 a1 = a
a2 = b
a3 = c
Esagonale Esagonale
a=b
α=β=90°, γ=120°
Hexagonal.png 3 a1 = a
a2 = b
a3 = c
Le facce superiore e inferiore della cella esagonale hanno un atomo al centro. Su un piano intermedio tra queste due facce sono situati tre atomi disposti a triangolo. Le tre sferette del piano intermedio sono a contatto con quelle delle facce superiore e inferiore. Il fattore di impaccamento è 0,74. hex
Romboedrico (o trigonale) Romboedrico (o trigonale) (**)
a=b=c
Rhombohedral.png 1 a1 = a
a2 = b
a3 = c
hex

(*) rapporto tra il volume della cella convenzionale e quello della cella primitiva.
(**) talvolta come cella convenzionale romboedrica si usa, anziché quella riportata in figura, la cella tipo esagonale, centrata a (2/3,1/3,1/3) e (1/3,2/3,2/3).

Numero di coordinazione[modifica | modifica wikitesto]

Si chiamano primi vicini i punti del reticolo più vicini ad un dato punto del reticolo stesso. A causa della natura periodica del reticolo di Bravais ogni punto ha lo stesso numero di primi vicini. Si chiama numero di coordinazione il numero di primi vicini, tale grandezza è una proprietà fondamentale del reticolo. In tabella sono dati i numeri di coordinazione dei tre reticoli cubici assieme ad altre proprietà di tale reticoli.

Reticolo N. coordinazione Distanza primi vicini elementi per cella conv.
sc 6 a 1
bcc 8 a\sqrt{3}/2 2
fcc 12 a/\sqrt{2} 4

Esempi di struttura cristallina[modifica | modifica wikitesto]

Nella tabella sono riportati i tipi di struttura cristallina per gli elementi metallici più importanti. La distanza interatomica si riferisce alla distanza fra due atomi dello stesso elemento misurata con l'aiuto della diffrazione a raggi x.

Metallo Struttura Distanza interatomica (nm) Raggio atomico (nm)
Argento fcc 0,2888 0,1444
Alluminio fcc 0,2862 0,1431
Oro fcc 0,2882 0,1441
Berillio hex 0,228 0,114
Cadmio hex 0,296 0,158
Cobalto hex 0,250 0,125
Cromo bcc 0,2498 0,1249
Rame fcc 0,2556 0,1278
Ferro\alpha bcc 0,2482 0,1241
Ferro\gamma fcc 0,2540 0,1270
Potassio bcc 0,4624 0,2312
Litio bcc 0,3038 0,1519
Magnesio hex 0,322 0,161
Molibdeno bcc 0,2725 0,1362
Sodio bcc 0,3174 0,1857
Nichel fcc 0,2491 0,1246
Piombo fcc 0,3499 0,1750
Platino fcc 0,2775 0,1386
Titanio \alfa hex 0,293 0,164
Titanio \beta bcc 0,285 0,142
Vanadio bcc 0,2362 0,1316
Wolframio (Tungsteno) bcc 0,2734 0,1367
Zinco hex 0,278 0,139
Zirconio hex 0,324 0,162

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Goel, p. 36
  2. ^ Borchardt-Ott, p. 23

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, "Solid State Physics", Holt-Saunders Japan, 1976.
  • Charles Kittel, "Introduction to Solid State Physics", Wiley New York, 2004.
  • J. S. Blakemore, "Solid State Physics", Cambridge University Press 1985.
  • (EN) A. Goel, Crystallography, Discovery Publishing House, 2006, ISBN 81-8356-170-5.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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