Numero di Rayo

Il numero di Rayo è un numero grande che prende il nome dal matematico messicano Agustín Rayo, il quale ha scoperto e dimostrato questo numero, durante una sorta di duello per la ricerca del numero più grande al MIT del 26 gennaio 2007.

Definizione

La definizione del numero di Rayo:

Il numero più piccolo maggiore di qualsiasi numero finito denominato da un'espressione nel linguaggio della teoria degli insiemi del primo ordine con simboli googol o meno.

$Rayo(10^{100})BC$

In particolare, una versione iniziale della definizione, che è stata successivamente chiarita, affermava: "Il numero più piccolo più grande di qualsiasi numero che può essere nominato da un'espressione nel linguaggio della teoria degli insiemi del primo ordine con meno di un googol (10 ¹⁰⁰ ) "

La definizione formale del numero utilizza la seguente formula del secondo ordine, dove [φ] è una formula codificata da Gödel e "s" è un'assegnazione variabile:

Per tutti R {
{per qualsiasi (codifica) formula [ψ] e ogni variabile assegnata t
(R([ψ],t) ↔
(([ψ] = "x_i ∈ x_j" ∧ t(x_i) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = "x_i = x_j" ∧ t(x_i) = t(x_j)) ∨
([ψ] = "(∼θ)" ∧ ∼R([θ],t)) ∨
([ψ] = "(θ∧ξ)" ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = "∃x_i (θ)" e per alcune x_i-variant t' of t, R([θ],t'))
)}   →
R([φ],s)}

Data questa formula, il numero di Rayo è definito come:

Il numero più piccolo maggiore di ogni numero finito m con la seguente proprietà: esiste una formula φ(x ₁ ) nel linguaggio della teoria degli insiemi di primo ordine (come presentato nella definizione di Sat) con simboli inferiori a un googol e x ₁ come unica variabile libera tale che: (a) esista un'assegnazione di variabile s che assegna m a x ₁ tale che Sat([φ(x ₁ )],s), e (b) per qualsiasi assegnazione di variabile t, se Sat ([φ(x ₁ )],t), quindi t assegna m a x ₁.