Numeri di Bell

In matematica i numeri di Bell - indicati con $B_n$ - sono definiti come il numero di partizioni di un insieme di n elementi, cioè il numero di modi in cui questo insieme può essere ottenuto come unione disgiunta di suoi sottoinsiemi non vuoti.

La notazione $B_n$ viene utilizzata anche per denotare i numeri di Bernoulli; per distinguerli talora per i numeri di Bernoulli si usa la notazione $b_n$.

Ad esempio,

$B_3 = 5$

poiché per un insieme di tre elementi $\{a, b, c\}$ esistono 5 differenti modi di dividerlo in sottoinsiemi non vuoti:

$\{ \{a\}, \{b\}, \{c\} \}$

$\{ \{a,b\}, \{c\} \}$

$\{ \{a,c\}, \{b\} \}$

$\{ \{a\}, \{b,c\} \}$

$\{ a, b, c \}$

La sequenza

I primi numeri di Bell sono

$B_0 = 1$

$B_1 = 1$

$B_2 = 2$

$B_3 = 5$

$B_4 = 15$

$B_5 = 52$

$B_6 = 203$

(Sequenza A000110 dell'OEIS)

I primi valori di n per cui $B_n$ è un numero primo sono 2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (Sequenza A051130 dell'OEIS.) e i numeri primi di Bell generati sono 2, 5, 877, 27644437, ... (Sequenza A051131 dell'OEIS.) Solo nel 2004 è stato dimostrato da I. Canestro, dopo 17 mesi di calcolo, che $B_{2841} \,$ è un numero primo.

Proprietà

• I numeri di Bell possono essere calcolati mediante la relazione di ricorrenza

$B_{n+1} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} B_k$

• Oppure usando la formula di Dobiński

$B_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^n}{k!}$

• Un altro metodo usato per calcolare i numeri di Bell è tramite il triangolo di Bell:

 1 
 1    2
 2    3   5 
 5    7   10  15
 15   20  27  37  52
 52   67  87  114 151 203
 203  255 322 409 523 674 877

• La funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell è

$e^{e^x - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!} x^n \,$

• La congruenza di Touchard asserisce che se p è primo

$B_{p+k} \equiv B_k + B_{k+1} \pmod{p} \,$

Voci correlate

• Triangolo di Bell
• Partizione di un insieme

Collegamenti esterni

• (EN) Un articolo sui numeri di Bell in Mathworld