Modello di Hodgkin-Huxley

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Il modello di Hodgkin-Huxley è un modello matematico che descrive il processo di depolarizzazione della membrana cellulare. Storicamente questo è stato il primo modello creato per descrivere questo processo, per il quale i suoi scopritori, Alan Lloyd Hodgkin e Andrew Huxley, hanno vinto il Premio Nobel per la Medicina nel 1963. Questo modello è stato dedotto da numerose osservazioni sperimentali utilizzando gli assoni giganti dei calamari. Di seguito sono riportate le equazioni che lo definiscono:

{\displaystyle \begin{cases}

{\displaystyle \frac{a}{R_{i}}\frac{\partial^{2}v(z,t)}{\partial z^{2}}=C_{m}\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}+\left(v(z,t)+V_{Na}\right)\ g_{Na}(v)+\left(v(z,t)-V_{K}\right)\ g_{K}(v)+\left(v(z,t)-V_{L}\right)\ g_{L}}\\

\\

{\displaystyle g_{K}=\overline{g_{K}}\ n(v,t)^{4}}\\

\\

{\displaystyle \frac{d\ n(v,t)}{dt}=\alpha_{n}\left[1-n(v,t)\right]-\beta_{n}\ n(v,t)}\\

\\

{\displaystyle \alpha_{n}=f_{\alpha_{n}}\ \frac{v+V_{\alpha_{n}}}{\text{e}^{\frac{v+V_{\alpha_{n}}}{V_{\alpha_{n}}}}-1}}\\

\\

{\displaystyle \beta_{n}=f_{\beta_{n}}\ \text{e}^{\frac{v}{V_{\beta_{n}}}}}\\

\\

g_{Na}=\overline{g_{Na}}\ m(v,t)^{3}\ h(v,t)\\

\\

\frac{d\ m(v,t)}{dt}=\alpha_{m}\left[1-m(v,t)\right]-\beta_{m}\ m(v,t)\\

\\

\frac{d\ h(v,t)}{dt}=\alpha_{h}\left[1-h(v,t)\right]-\beta_{h}\ h(v,t)\\

\\

\alpha_{m}=f_{\alpha_{n}}\ \frac{v+V_{\alpha_{m1}}}{\text{e}^{\frac{v+V_{\alpha_{m1}}}{V_{\alpha_{m2}}}}-1}\\

\\

\beta_{m}=f_{\beta_{m}}\ \text{e}^{\frac{v}{V_{\beta_{m}}}}\\

\\

\alpha_{h}=f_{\alpha_{h}}\ \text{e}^{\frac{v}{V_{\alpha_{h}}}}\\

\\

\beta_{h}=f_{\beta_{h}}\ \frac{1}{\text{e}^{\frac{v+V_{\beta_{m1}}}{V_{\beta_{m2}}}}+1}

\end{cases}}

Le costanti valgono:

\overline{g_K}=24.31 \text{mS}\ \text{cm}^{-2}

\ f_{\alpha_n}=0.01\ \text{s}^{-1}

\ V_{\alpha_n}=10\ \text{mV}

\ f_{\beta_n}=0.125\ \text{s}^{-1}

\ V_{\beta_n}=10\ \text{mV}

\ n_{0}=0.316\ \text{mV}

\ V_{K}=12\ \text{mV}

\ f_{\alpha_m}=0.1\ \text{s}^{-1}

\ V_{\alpha_{m1}}=25\ \text{mV}

\ V_{\alpha_{m2}}=10\ \text{mV}

\ f_{\beta_m}=4\ \text{s}^{-1}

\ V_{\beta_m}=18\ \text{mV}

\ f_{\alpha_h}=0.07\ \text{s}^{-1}

\ V_{\alpha_h}=20\ \text{mV}

\ f_{\beta_h}=1\ \text{s}^{-1}

\ V_{\beta_{m1}}=30\ \text{mV}

\ V_{\beta_{m2}}=10\ \text{mV}

\overline{g_{Na}}=70.7 \text{mS}\ \text{cm}^{-2}

\ h_0=0.607

\ m_0=0

\ V_{Na}=115\ \text{mV}

\ C_m=1\ \mu \text{F}\ \text{cm}^{-2}

\ V_L=-10.61\ \text{mV}

\ g_L=0.3\ \text{mS}\ \text{cm}^{-2}

\ R_i=35.4\ \Omega\ \text{cm}^{-2}

\ a=238\cdot 10^{-4}\ \text{cm}


La complessità di questo modello è tale da non consentirne una risoluzione analitica. Finora è stato studiato con successo grazie a numerose simulazioni numeriche confrontate con i dati sperimentali.

Una notevole semplificazione del modello di Hodgkin e Huxley è quello di FitzHugh-Nagumo.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]