Esempi di campo magnetico

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Punto di partenza per calcolare il campo magnetostatico nel vuoto è la Formula di Laplace:

  • Caso generale:
\vec B_0(\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\vec J(\vec r') \times \Delta \vec r}{|\Delta \vec r|^3} dV'
  • Circuiti filiformi:
\vec B_0(\vec r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \oint_{l'} I \frac {d\vec l' \times \Delta \vec r}{|\Delta \vec r|^3}

dove \Delta \vec r = \vec r - \vec r' bisogna ricordare che \vec r indica la distanza dal sistema di riferimento del punto dove vogliamo calcolare il campo, \vec {r'} indica la distanza dell'elemento di circuito, che è dV' per circuiti di forma qualsiasi e dl' per circuiti filiformi.

Filo rettilineo infinito[modifica | modifica sorgente]

Campo magnetico per un filo percorso da corrente

Consideriamo un filo rettilineo di lunghezza l molto grande percorso da corrente I nel senso positivo dell'asse z. Vogliamo calcolare il campo magnetico in un punto P distante ortogonalmente dal filo di una quantità a. Dobbiamo poter sommare i contributi infinitesimi del campo prodotti da ogni tratto di filo d\vec l distante da P di \vec r, come in figura:


B_0 = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_l \frac {dl \cdot \not r \cdot sin \alpha}{r^{\not 3 2}}

dove abbiamo svolto il prodotto vettoriale a numeratore e semplificato r. Possiamo agevolmente fare delle trasformazioni trigonometriche per facilitare il calcolo dell'integrale:

\sin \alpha = cos \theta;

poiché: l = a \cdot tan \theta possiamo derivare l rispetto a \theta: \frac {dl}{d\theta} = \frac {a}{cos^2 \theta} ed infine r = \frac {a}{cos \theta}. Sostituendo dl ed r, possiamo integrare rispetto ad una sola variabile angolare \theta che per l \to \infty \Longrightarrow -\pi/2 \le \theta \le \pi/2:

B_0 = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_l \frac {\not a}{\not \cos^2} \frac{\not \cos^2}{a^{\not2}} cos \theta d\theta = \frac {\mu_0 I}{4\pi a} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} cos \theta d\theta

Eseguendo l'integrale:

B_0 = \frac {\mu_0 I}{4\pi a} \left [sin \theta \right ]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac {\mu_0 I}{2\pi a}

Se il filo ha lunghezza L non grande abbastanza da poter approssimare allora bisogna tenerne conto: L = r \cdot sin \theta e \sin \theta = \frac {L}{r}

B_0 = \frac {\mu_0 I}{2\pi a} \frac {L}{\sqrt{a^2 + L^2}}

considerando il punto P posto sopra il centro del filo.

Spira circolare[modifica | modifica sorgente]

Vogliamo calcolare il campo magnetico sull'asse di una spira di raggio R. Il contributo \mbox{d}\vec B_0 dell'elemento \mbox{d}\vec l' è:

 \mbox{d} \vec B_0 (z) = \frac {\mu_0}{4 \pi} I \frac {d \vec l' \times  \vec r}{|\Delta \vec r|^3}

\mbox{d}\vec l' è ortogonale a  \Delta \vec r, inoltre per ogni elemento infinitesimo \mbox{d}\vec l' della spira ce n'è un altro opposto che genera un campo \mbox{d}\vec B_0 uguale in modulo, ma verso opposto. Quindi il campo magnetico risulta parallelo all'asse z:

\mbox{d}\vec B_{0z} = \mbox{d} B_0 \mbox{sen}\alpha

Integrando:

 \vec B_0 = \oint \mbox{d}\vec B_{0z} = \hat n \oint \mbox{d} B_{0z} = \frac {\mu_0 I}{4 \pi} \frac {\mbox{sen}\alpha}{|\Delta \vec r|^2} \oint \mbox{d}l' =  \frac {\mu_0 I}{4 \pi} \frac {\mbox{sen}\alpha}{|\Delta \vec r|^2} 2 \pi R

sostituendo \mbox{sen}\alpha = \frac {R}{|\Delta \vec r|} e |\Delta \vec r| = \sqrt{ R^2 + z^2} si ottiene:

 \vec B_0 (z) = \hat n \frac {\mu_0 I R^2}{2\left (z^2 + R^2 \right )^{3/2}}

Nel caso che z \gg R:

B_0 (z) = \frac {\mu_0 I R^2}{2
z^3}

Al centro della spira z = 0:

B_0 (z) = \frac {\mu_0 I}{2R}

Solenoide[modifica | modifica sorgente]

Il solenoide di lunghezza L può essere considerato un insieme di N spire coassiali di raggio R. Il campo magnetico ha la direzione dell'asse del solenoide. Il campo magnetico in un punto dell'asse del solenoide può essere agevolmente calcolato con la legge di Ampere:

\oint_C \vec B_0 \cdot d\vec s = \mu_0 n L I


dove n, chiamata densità di spire, è uguale al rapporto tra N e L, e C è una qualsiasi linea chiusa concatenante la corrente I su tutte le spire (cioè N volte):

B_0 = \mu_0 n \cdot I

Usando come circuitazione una linea rettangolare con un lato corrispondente all'asse del solenoide (o un qualunque segmento parallelo all'asse e interno ad ogni spira), un secondo lato parallelo al primo ma esterno al solenoide, e i lati congiungenti simmetrici fra loro, otteniamo il risultato. Infatti con l'approssimazione di solenoide infinito, il campo magnetico esterno al solenoide è nullo, perché le linee di campo si debbono ricongiungere all'infinito e sono infinitamente rade all'esterno. I due lati congiungenti sono simmetrici ed il problema pure: il loro contributo è nullo.

Interno di un conduttore attraversato da corrente[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo un conduttore elettrico a sezione circolare di raggio R attraversato da una corrente I. Per la legge di Biot-Savart:

\oint_C \vec B_0 \cdot d\vec s = 2 \pi r B = \mu_0 I

Supponendo la corrente uniformemente distribuita all'interno del conduttore avremo una densità pari a:

j=\frac{I}{\pi R^2}

La corrente concatenata avrà un andamento, in funzione del raggio r della circonferenza attorno all'asse del conduttore, del tipo:

i(r)=I \frac{r^2}{R^2}

Dalla legge di Ampére:

2 \pi r B = \mu_0 j \pi r^2 = \mu_0 i \frac {r^2}{R^2}

Da cui otteniamo:

B =\frac {\mu_0 j r}{2} = \frac {\mu_0 i r}{2 \pi R^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0\leq r \leq R

Che rappresenta l'andamento del campo magnetico nell'interno di un conduttore in funzione della distanza dal centro. Come si nota il campo cresce in maniera lineare e proporzionalmente ad r. Giunti ad r=R, per r>R il campo decresce come 1/r.

Lamina piana infinita[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo una lamina piana indefinita percorsa da una corrente i unidirezionale. Se prendiamo un sistema di riferimento cartesiano, ed orientiamo opportunamente gli assi in modo da avere il piano delle coppie (x;y) coincidente con quello della lamina e la corrente diretta lungo \mathbf{x}, allora seguendo la regola della mano destra il campo magnetico \mathbf{B} sarà diretto lungo \mathbf{y} e varierà lungo \mathbf{z}. Infatti, quando z>0 varrà \mathbf{B}=B\mathbf{u_y} e per z<0 sarà \mathbf{B}=-B\mathbf{u_y}; pertanto, esso subirà una discontinuità tangenziale alla lamina, proprio nel passaggio all'interno della stessa (z=0). Dalla circuitazione calcolata attorno a questa discontinuità risulta:

B_0 = \frac{\mu_0 j_l}{2}

Dove j_l rappresenta la densità lineare di corrente (A/m) della lamina. Dalla differenza dei due campi lungo \mathbf{z} (che rappresentati vettorialmente sono opposti in segno), si ottiene il valore della discontinuità, ossia il doppio di B_0.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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