Distanza di Minkowski

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In matematica, la distanza di Minkowski è una distanza in uno spazio euclideo che può essere considerata una generalizzazione sia della distanza euclidea che della distanza di Manhattan.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

La distanza di Minkowski di ordine p tra due punti P=(x_1,x_2,\ldots,x_n) e Q=(y_1,y_2,\ldots,y_n) in \R^n è definita come:

\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}

Questa distanza si usa tipicamente con p=1 o p=2: il secondo caso rappresenta la distanza euclidea, mentre il primo la distanza di Manhattan.

Per p\geq1 la distanza di Minkowski è una metrica, nel senso che soddisfa la disuguaglianza triangolare, come conseguenza della disuguaglianza di Minkowski. Quando p<1, la distanza tra (0,0) e (1,1) è 2^{1/p}>2, ma il punto (0,1) è a distanza 1 da entrambi.

Nel caso limite in cui p tende a infinito si ha la distanza di Čebyšëv:

\lim_{p\to\infty}{\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^\frac{1}{p}} = \max_{i=1}^n |x_i-y_i|

Per p che tende a -\infty, in modo simile si ha:

\lim_{p\to-\infty}{\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^\frac{1}{p}} = \min_{i=1}^n |x_i-y_i|
Cerchio unitario (luogo dei punti equidistanti dall'origine) per diversi valori di p.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) John P. van de Geer, Some Aspects of Minkowski Distance, Leiden University, Department of Data Theory, 1995.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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