Distanza di Čebyšëv

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D_{Chess}(x,0)=1

In matematica, la distanza di Čebyšëv, conosciuta anche come distanza della scacchiera o distanza di Lagrange, è una distanza su spazi vettoriali tale per cui la distanza tra due vettori è il valore massimo della loro differenza lungo gli assi. Si tratta di una versione finito-dimensionale della metrica uniforme.

Prende il nome dal matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv. Negli scacchi la distanza tra le celle in termini di mosse necessarie al re è data dalla distanza di Čebyšëv, da cui il nome.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La distanza di Čebyšëv tra due punti p e q in uno spazio vettoriale, come ad esempio uno spazio euclideo, è definita come:

d(p,q) = \max_i\big\{|p_i - q_i|\big\}

dove p_i e q_i sono le coordinate standard di p e q rispettivamente. Equivale al limite della metrica nello spazio Lp:

\lim_{k \to \infty} \bigg( \sum_{i=1}^n \left| p_i - q_i \right|^k \bigg)^{1/k}

ed è perciò anche nota come metrica L_\infty. Si tratta della metrica indotta dalla norma del sup, ed è un esempio di metrica iniettiva.

In due dimensioni, per esempio nella geometria piana, se due punti p e q hanno coordinate cartesiane (x_1,y_1) e (x_2,y_2) la loro distanza è:

d = \max \left ( \left | x_2 - x_1 \right | , \left | y_2 - y_1 \right | \right )

Con tale metrica una circonferenza di raggio r, cioè i punti a distanza r dal centro, è un quadrato i cui lati hanno lunghezza 2r e sono paralleli agli assi coordinati.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

In una dimensione tutte le metriche Lp sono uguali: sono il valore assoluto della differenza. In due dimensioni, la distanza di Chebyshev è equivalente ad una rotazione e una riscalatura della distanza di Manhattan planare. Una tale equivalenza tra le metriche L1 e L non si generalizza tuttavia in dimensione maggiore. Una sfera costruita con la distanza di Chebyshev è infatti un cubo, mentre se costruita con la distanza di Manhattan è un'ottaedro.

Algoritmo di calcolo[modifica | modifica wikitesto]

La funzione in Python chebyshev_distance(), ad esempio, computa la distanza tra due vettori di uguale lunghezza:

def chebyshev_distance(v1, v2):
    #Return the Chebyshev distance between equal-length vectors
    if len(v1) != len(v2):
        raise ValueError("Undefined for vectors of unequal length")
    return max(abs(e1-e2) for e1, e2 in zip(v1, v2))

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Cyrus. D. Cantrell, Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-59827-3.
  • (EN) James M. Abello, Panos M. Pardalos, and Mauricio G. C. Resende (editors), Handbook of Massive Data Sets, Springer, 2002, ISBN 1-4020-0489-3.
  • (EN) David M. J. Tax, Robert Duin, and Dick De Ridder, Classification, Parameter Estimation and State Estimation: An Engineering Approach Using MATLAB, John Wiley and Sons, 2004, ISBN 0-470-09013-8.
  • (EN) André Langevin and Diane Riopel, Logistics Systems, Springer, 2005, ISBN 0-387-24971-0.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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