Condizione di Samuelson

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La condizione di Samuelson, formulata da Paul Samuelson, dice che una produzione ottimale di bene pubblico puro esige un'uguaglianza tra la somma dei tassi marginali di sostituzione e il tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Formalizzazione matematica[modifica | modifica wikitesto]

Sia q_{o} il bene pubblico e q_{j} (j=1,2,\ldots,m) i beni privati. La funzione di produzione sotto forma implicita è data dall'espressione seguente: \varphi(\hat q_{o} ,\hat q_{1} ,\hat q_{2} ,\ldots,\hat q_{m} ) = 0 dove  \hat q_j è la quantità prodotta del bene j.

Le funzioni di utilità sono:

u_{i} (q_{o} ,q_{i1} ,q_{i2} ,\ldots,q_{im} ) \qquad i=1,2,\ldots,h

dove  q_{ij} è la quantità del bene j consumata dall'individuo i. Non c'è l'indice i per il bene pubblico poiché la quantità consumata è la stessa per tutti gli individui. La quantità consumata dei beni privati dipende invece dalle preferenze e dal reddito di ogni individuo.

Un ottimo paretiano può essere ottenuto massimizzando l'utilità del primo consumatore sotto i vincoli esistenti tra produzione e consumo. La lagrangiana è:

L = u_{1} (q_{o} ,q_{11} ,q_{12} ,\ldots,q_{1m} ) + \sum_{i=2}^{h} \lambda_{i} (u_{i} - u^{o}_{i} ) + \sigma \varphi(\hat q_{o} ,\hat q_{1} ,\ldots,\hat q_{m} ) + \mu_{o} (q^{o}_{o} + \hat q_{o} - q_{o} ) + \sum_{j=1}^{m} \mu_{j} (q^{o}_{j} + \hat q_{j} - \sum_{\alpha=1}^{h} q_{\alpha j} )

dove  \lambda_i , \sigma, \mu_j sono i moltiplicatori di Lagrange e  q^o_j lo stock del bene j.

Le condizioni di primo ordine sono:

 (1) \qquad \frac{\partial L }{\partial q_{o}} = \sum_{\alpha=1}^{h} \lambda_{\alpha} \frac{\partial u_{\alpha} }{\partial q_{o}} - \mu_{o} = 0 \qquad (\lambda_{1} = 1)
 (2) \qquad \frac{\partial L }{\partial q_{\alpha j} } = \lambda_{\alpha} \frac{\partial u_{\alpha} }{\partial q_{\alpha j} } - \mu_{j} = 0 \qquad \qquad \quad \alpha = 1,2,\ldots,h \quad ; \quad j = 1,2,\ldots,m
 (3) \qquad \frac{\partial L }{\partial \hat q_{s} } = \sigma \frac{\partial \varphi }{\partial \hat q_{s}} + \mu_{s} = 0 \qquad \qquad\qquad s = 0,1,\ldots,m
 (4) \qquad \frac{\partial L } {\partial \lambda_{i} } = u_{i} - u^{o}_{i} = 0 \qquad \qquad \qquad \quad \; i=2,3,\ldots,h
 (5) \qquad \frac{\partial L }{\partial \sigma } = \varphi(\hat q_{o} ,\hat q_{1} ,\hat q_{2} ,\ldots,\hat q_{m} ) = 0
 (6) \qquad \frac{\partial L } {\partial \mu_{o} } = q^{o}_{o} + \hat q_{o} - q_{o} = 0
 (7) \qquad \frac{\partial L } {\partial \mu_{j} } = q^{o}_{j} + \hat q_{j} - \sum_{\alpha=1}^{h} q_{\alpha j} = 0

Eliminando i moltiplicatori di Lagrange si ottiene:

 \sum_{\alpha=1}^{h} \frac{\frac{\partial u_{\alpha} }{\partial q_{o}} }{ \frac{\partial u_{\alpha} }{\partial q_{\alpha j} } } = \frac{\varphi_{o} }{\varphi_{j}}
 \frac{\frac{\partial u_{\alpha} }{\partial q_{\alpha j} } }{\frac{\partial u_{\alpha} }{\partial q_{\alpha s} } } = \frac{ \varphi_{j} }{ \varphi_{s}}

Prendendo le trè quantità consumate q_{o}, q_{j} e q_{s}, si può scrivere:

 \sum_{\alpha=1}^{h} TMS^{\alpha}_{oj} = TTP_{oj}
 TMS^{\alpha}_{js} = TTP_{js}

La seconda relazione, relativa ai beni privati j e s, è identica a quella ottenuta nell'ottimo paretiano classico. I tassi marginali di sostituzione (TMS) devono essere uguali ai tassi marginali di trasformazione dei prodotti (TTP). La prima relazione è la condizione di ottimalità per il bene pubblico. La somma dei tassi marginali di sostituzione (tra il bene pubblico e un qualunque bene privato) di tutti i consumatori deve essere uguali al tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Michael Pickhardt: Fifty Years after Samuelson's The Pure Theory of Public Expenditure: What are we Left With? In: Journal of the History of Economic Thought. 28, Nr. 4, 2006, pp. 439–460.
  • Agnar Sandmo: Public Goods. In: Steven N. Durlauf and Lawrence E. Blume (Eds.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (Online-edition).
  • Paul Samuelson: The Pure Theory of Public Expenditure. In: The Review of Economics and Statistics. 36, Nr. 4, 1954, pp. 387–389.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]