Lemma di Riesz

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il lemma di Riesz specifica le condizioni che garantiscono che un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale normato sia denso. Il lemma è dovuto a Frigyes Riesz.

Il teorema

Sia $X$ uno spazio vettoriale normato con norma $\|\cdot \|$, sia $x$ un elemento di $X$ e sia $Y$ un sottospazio di $X$. Si definisce la distanza tra un elemento $x$ e $Y$ nel seguente modo:

$d(x,Y)=\inf _{y\in Y}|x-y|\$

Il lemma di Riesz afferma che se esiste $0<r<1$ tale che:

$d(x,Y)>r\$

per ogni $x\in X$ di modulo unitario, allora $Y$ è denso in $X$. In modo equivalente, per ogni sottospazio chiuso $Y$ si può sempre trovare un vettore $x$ appartenente alla sfera unitaria di $X$ tale che la sua distanza con $Y$ sia arbitrariamente vicina a 1. Nel caso in cui la dimensione dello spazio è finita la distanza $d(x,Y)$ può essere uguale a 1.

Come conseguenza, ogni spazio normato di dimensione infinita contiene una successione di vettori unitari $x_{n}$ tali che:

$|x_{n}-x_{m}|>k\qquad 0<k<1$

Il lemma di Riesz consente pertanto di mostrare se uno spazio vettoriale normato ha dimensione infinita o finita. In particolare, se la sfera unitaria chiusa è compatta allora lo spazio ha dimensione finita.

Dimostrazione

Si supponga che $Y$ non è denso in $X$. Allora la chiusura $Y'$ di $Y$ è un sottospazio proprio di $X$. Si consideri un vettore $x$ che non appartiene a $Y$, si ha:

$d(x,Y')=d>0\$

Quindi, per ogni $k>1$ esiste $y_{0}\in Y$ tale che:

$d\leq |x-y_{0}|<kd\$

Si consideri il vettore $z=x-y_{0}$, si ha:

$\left|{\frac {z}{|z|}}-y\right|={\frac {1}{|x-y_{0}|}}|(x-y_{0})-y|z||>{\frac {1}{|x-y_{0}|}}d>{\frac {1}{k}}\qquad \forall y\in Y$

Scegliendo $k$ arbitrariamente prossimo a 1 si ottiene la dimostrazione.

Bibliografia

• Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Insieme denso
• Sfera unitaria
• Spazio vettoriale normato