Cerchi di Yff

Nella geometria del triangolo, cerchi di Yff sono due triplette di cerchi di Johnson (cioè congruenti e intersecantesi in un unico punto) di cui ogni cerchio è tangente a due lati del triangolo. Per il teorema di Johnson inoltre ciascuna tripletta individua anche un cerchio di Johnson-Yff.

Due triplette

Esistono due tipi di cerchi di Yff:

• i primi, con centri indicati con Y sono contenuti interamente all'interno del perimetro del triangolo, il loro punto d'incontro è X(55) e il centro del loro cerchio di Johnson-Yff è X(1478);
• i secondi, concentri indicati con Z sono semplicemente tangenti ai lati o ai loro prolungamenti, il loro punto d'incontro è X(56) e il centro del loro cerchio di Johnson-Yff è X(1479);

noti inoltre, l'inraggio r e il circumraggio R i loro raggi dei cerchi di Yff o Johnson-Yff sono:

$\rho _{Y}={\frac {Rr}{R+r}}$; $\rho _{Z}={\frac {Rr}{R-r}}$

il rapporto fra i due raggi è:${\frac {R-r}{R+r}}$

per quanto riguarda invece le coordinate trilineari dei centri queste diventano

$O_{a}\quad {\frac {2\Delta -(b+c)\rho }{a}}:\rho :\rho$

$O_{b}\quad \rho :{\frac {2\Delta -(a+c)\rho }{b}}:\rho$

$O_{c}\quad \rho :\rho :{\frac {2\Delta -(a+b)\rho }{c}}$

in cui basta semplicemente cambiare con il raggio ρ omologo.

Centri

X(55)

X₍₅₅₎ è il punto di incontro dei cerchi di Yff di prima specie con coordinate trilineari:

a(s - a) : b(s - b) : c(s - c)

coordinate baricentriche

a²(s - a) : b²(s - b) : c²(s - c)

il punto è anche il centro di omotetia del triangolo tangenziale, del triangolo intangente, ed extangente.

X(56)

X₍₅₆₎ è il punto di incontro dei cerchi di Yff di prima specie con coordinate trilineari:

a/(s - a) : b/(s - b) : c/(s - c).

coordinate baricentriche

a²/(s - a) : b²/(s - b) : c²/(s - c)

X(1478)

X₍₁₄₇₈₎ è il centro del cerchio di Johnson-Yff di prima specie che forma con i punti Y_a, Y_b, Y_b, un sistema ortico; le sue coordinate trilineari:

f(A,B,C) : f(B,C,A) : f(C,A,B),

coordinate baricentriche:

(sin α)f(A,B,C) : (sin β)f(B,C,A) : (sin γ)f(C,A,B)

dove f(A,B,C) = 1 + 2 cos B cos C.

Voci correlate

• Cerchi di Johnson

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Cerchi di Yff, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) (EN) Clark Kimberling, X₅₅, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₅₆, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₁₄₇₈, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₁₄₇₉, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.