Trasformazioni stella-triangolo

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Le trasformazioni stella-triangolo o triangolo-stella sono molto utilizzate nel campo dell'elettrotecnica per poter più agevolmente risolvere circuiti con bipoli passivi.

Distribuzione a stella e a triangolo


Regime stazionario[modifica | modifica sorgente]

Trasformazioni triangolo - stella

Passaggio da stella a triangolo[modifica | modifica sorgente]

Per dimostrare il passaggio da una configurazione a stella ad una a triangolo (più utile ad esempio nel calcolo delle resistenze in parallelo) si procede risolvendo il primo circuito con il metodo delle maglie ed il secondo con il metodo dei nodi considerando il nodo A a potenziale nullo per semplicità. Per fare ciò si fornisce un'alimentazione esterna che non altera le caratteristiche del sistema.

Per il primo circuito si ha:


\begin{bmatrix}
 R_a + R_b & - R_a \\ - R_a & R_a + R_c
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 I_1 \\ I_2
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
-V_b \\ V_c
\end{bmatrix}

per cui la prima corrente di maglia è

I_1 = - V_b \frac{R_a}{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c} 
- V_b \frac{R_c}{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c} + 
V_c \frac{R_a}{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}.

Per il secondo circuito invece si ottiene


\begin{bmatrix}
 G_{ab} + G_{bc} & - G_{bc} \\ - G_{bc} & G_{ac} + G_{bc}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 V_b \\ V_c
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
-I_1 \\ I_2
\end{bmatrix}

quindi l'equazione per la corrente I1 è

I_1 = - (G_{ab} + G_{bc}) V_b + G_{bc} V_c.

Eguagliando i coefficienti si ottiene la relazione per la conduttanza tra il nodo B e C:

G_{bc} = \frac{R_a}{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}

e quindi analogamente si dimostra che

G_{ac} = \frac{R_b}{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}

e

G_{ab} = \frac{R_c}{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}

.

Si noti quindi che il valore della conduttanza di un lato del triangolo è pari al rapporto tra la resistenza che si oppone al lato in esame e il prodotto misto a due a due delle resistenze stella, si avranno quindi le rispettive resistenze:

R_{bc} = \frac{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}{R_a}

R_{ac} = \frac{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}{R_b}

R_{ab} = \frac{R_a R_b + R_a R_c + R_b R_c}{R_c}

Passaggio da triangolo a stella[modifica | modifica sorgente]

In maniera perfettamente duale si ottengono le resistenze stella dalle conduttanze triangolo:

R_a = \frac{G_{bc}}{G_{ab} G_{ac} + G_{ab} G_{bc} + G_{ac} G_{bc} }

R_b = \frac{G_{ac}}{G_{ab} G_{ac} + G_{ab} G_{bc} + G_{ac} G_{bc} }

R_c = \frac{G_{ab}}{G_{ab} G_{ac} + G_{ab} G_{bc} + G_{ac} G_{bc} }

Oppure (considerando solo le resistenze):

R_a = {R_{ab} R_{ac}\over R_{ab} + R_{bc} + R_{ac} }

R_b = {R_{ab} R_{bc}\over R_{ab} + R_{bc} + R_{ac} }

R_c = {R_{bc} R_{ac}\over R_{ab} + R_{bc} + R_{ac} }

Regime sinusoidale[modifica | modifica sorgente]

Le configurazioni secondo cui possiamo trovare i componenti resistitivi, capacitivi e induttivi sono le seguenti:

Configurazione stella, triangolo

Configurazione stella, triangolo

È possibile il passaggio dagli schemi a destra (configurazione a triangolo) a quelli a sinistra (configurazione a stella) mediante le seguenti formule:

Passaggio da triangolo a stella[modifica | modifica sorgente]

\dot{Z}_a = {\dot{Z}_{ab} \dot{Z}_{ac}\over \dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ac} }

\dot{Z}_b = {\dot{Z}_{ab} \dot{Z}_{bc}\over \dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ac} }

\dot{Z}_c = {\dot{Z}_{bc} \dot{Z}_{ac}\over \dot{Z}_{ab} + \dot{Z}_{bc} + \dot{Z}_{ac} }

Passaggio da stella a triangolo[modifica | modifica sorgente]

\dot{Z}_{ab} = {\dot{Z}_{a}\dot{Z}_{b} + \dot{Z}_{b}\dot{Z}_{c} + \dot{Z}_{c}\dot{Z}_{a} \over \dot{Z}_{c} }

\dot{Z}_{bc} = {\dot{Z}_{a}\dot{Z}_{b} + \dot{Z}_{b}\dot{Z}_{c} + \dot{Z}_{c}\dot{Z}_{a} \over \dot{Z}_{a} }

\dot{Z}_{ca} = {\dot{Z}_{a}\dot{Z}_{b} + \dot{Z}_{b}\dot{Z}_{c} + \dot{Z}_{c}\dot{Z}_{a} \over \dot{Z}_{b} }

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


fisica Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica