Nella teoria delle probabilità il trasformato secondo Burkholder è un processo stocastico
ottenuto a partire da una filtrazione
e due processi
e
, che hanno le seguenti proprietà:
è adattato rispetto a ![{\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1bf1d034e0cc10168e36009336b9da2e2b9bd7)
è prevedibile rispetto a ![{\displaystyle {\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\geqslant 0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc1bf1d034e0cc10168e36009336b9da2e2b9bd7)
Per ogni
la variabile aleatoria
è così definita:
Si assume per ipotesi che le
siano integrabili. Allora valgono i seguenti fatti:
(a) se
è una
-martingala, allora anche
è una
-martingala
(b) se
è una
-submartingala e
, allora anche
è una
-submartingala
Si ricorda che il processo stocastico
è una martingala se soddisfa le seguenti proprietà:
è adattato rispetto a ![{\displaystyle {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- tutti gli
sono integrabili
, ossia la previsione condizionale di
sapendo
è pari a
, per ogni ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
Se il processo
è una submartingala il punto (3) deve verificare che
Osservando la formula del trasformato
si ricava che:
è
-misurabile, in quanto il processo
è adattato rispetto alla filtrazione ![{\displaystyle {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
è
-misurabile, in quanto il processo
è prevedibile rispetto alla filtrazione ![{\displaystyle {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d4b91000d9dcf1a5bbabdfa6a8395fa60b676)
- Da ciò ne segue che il prodotto
è
-misurabile e la somma fino a
è
-misurabile
Il punto (1) è verificato in quanto tutti gli
sono
-misurabili e ciò implica che tutto il processo
è adattato rispetto a
.
Il punto (2) è verificato per ipotesi.
Applicando la formula del trasformato si ha che
Dato che
è
-misurabile può uscire dalla previsione in quanto costante.
Essendo
una
-martingala si ha che
per definizione e quindi anche
(punto 3 verificato)
Nel caso in cui
sia una submartingala
e quindi anche
(punto 3 verificato)
Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica - Seconda Edizione, Milano, McGraw-Hill, 1998, ISBN 88-386-0737-0.
Paolo Baldi, Calcolo delle Probabilità, Milano, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6365-9.
Francesca Biagini, Massimo Campanino, Elementi di Probabilità e Statistica, Milano, Springer, 2006, ISBN 88-470-0330-X.