Teorema di Lucas

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In teoria dei numeri, il teorema di Lucas fornisce il resto che si ottiene dividendo il coefficiente binomiale per un numero primo in termini dell'espansione in base dei numeri interi e .

Il teorema di Lucas apparve per la prima volta nel 1878 in articoli di Édouard Lucas.[1]

Formulazione[modifica | modifica wikitesto]

Per numeri interi non negativi e ed un numero primo , vale la seguente relazione di congruenza:

dove

e

sono rispettivamente le espansioni in base di e di . Questo utilizza la convenzione che se .

Conseguenza[modifica | modifica wikitesto]

Un coefficiente binomiale è divisibile per un numero primo se e solo se almeno una delle cifre in base di è maggiore della cifra corrispondente di .

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Ci sono diversi modi per dimostrare il teorema di Lucas. Faremo prima un ragionamento in combinatoria e poi una dimostrazione basata su funzioni generatrici.

Ragionamento in combinatoria[modifica | modifica wikitesto]

Si indichi con un insieme di elementi e lo si divida in cicli di lunghezza per i vari valori di . Allora ognuno di questi cicli può essere ruotato separatamente così che un gruppo , che è il prodotto cartesiano dei gruppi ciclici , agisca su . Allora questo agisce anche sui sottoinsiemi di grandezza . Dato che il numero di elementi in è una potenza di , lo stesso è vero per ogni sua orbita. Quindi per calcolare modulo , dobbiamo considerare solamente determinati punti. Questi punti sono i sottoinsiemi che sono unione di alcuni dei cicli. Più precisamente si può dimostrare per induzione su , che deve avere esattamente cicli di grandezza . Quindi il numero di scelte per è esattamente

Dimostrazione basata su funzioni generatrici[modifica | modifica wikitesto]

Questa dimostrazione è da accreditarsi a Nathan Fine.[2]

Se è un numero primo e è un numero intero con , allora il numeratore del coefficiente binomiale

è divisibile per mentre il denominatore non lo è. Quindi divide . In termini di funzioni generatrici ordinarie questo significa che

Continuando per induzione, abbiamo per ogni numero intero non negativo che

Ora indichiamo con un numero intero non negativo e con un numero primo. Scriviamo in base così che per qualche intero non negativo e per gli interi con .

Allora

dove nel prodotto finale, è la -esima cifra della rappresentazione in base di . Questo dimostra il teorema di Lucas.

Variazioni e generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ * Edouard Lucas, Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques, in American Journal of Mathematics, vol. 1, n. 2, 1878, pp. 184–196, DOI:10.2307/2369308, JSTOR 2369308, MR 1505161. (part 1);
  2. ^ Nathan Fine, Binomial coefficients modulo a prime, in American Mathematical Monthly, vol. 54, 1947, pp. 589–592, DOI:10.2307/2304500.
  3. ^ Andrew Granville, Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers (PDF), in Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, vol. 20, 1997, pp. 253–275, MR 1483922 (archiviato dall'url originale il 2 febbraio 2017).

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]