Teorema di Hartogs
In matematica, il teorema di Hartogs è un risultato fondamentale dell'analisi complessa in più variabili dimostrato da Friedrich Hartogs. Il teorema afferma che ogni funzione a valori complessi F definita su Cn, con n > 1, ed analitica in ogni variabile zi , 1 ≤ i ≤ n, con le altre variabili considerate costanti, è continua.
Un corollario afferma che sotto le stesse ipotesi del teorema, la funzione F non solo è continua, ma è anche analitica come funzione in n-variabili (equivalentemente, F si può espandere localmente nella sua serie di Taylor). In altre parole, la separata analiticità e l'analiticità sono nozioni coincidenti nella teoria delle funzioni complesse in più variabili.
Nota che l'analogo di questo teorema per funzioni di più variabili reali è falso. Infatti, se assumiamo che una funzione
è differenziabile (o anche analitica) in ciascuna variabile separatamente, non è necessariamente vero che è continua. Un controesempio in due dimensioni è dato dalla funzione
Questa funzione è derivabile in e in (separatamente) in 0, ma non è continua in 0 (i limiti lungo le linee e danno risultati diversi).
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 978-0-8218-2724-6.