Teorema del massimo modulo

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In matematica, il teorema del massimo modulo è un risultato di analisi complessa.

Afferma che se una funzione è analitica in un dominio (aperto e connesso) , allora ammette un massimo in se e solo se è una funzione costante.

In particolare, se è una funzione analitica non costante in un dominio limitato e continua sul bordo allora il valore massimo di sulla chiusura di (che esiste per il teorema di Weierstrass) viene raggiunto su .

Analogo risultato vale per il minimo ma solo se la funzione non ha zeri all'interno del dominio .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che ammetta un massimo in un punto . Essendo aperto, segue che esiste tale che il cerchio di centro e raggio sia contenuto in .

Dalla formula integrale di Cauchy segue che

e quindi, dalla disuguaglianza di Darboux

dove e l'uguaglianza vale se e solo se è costante (con ) su e quindi su tutto per prolungamento analitico. Il teorema segue quindi osservando che è il massimo di e dunque si deve necessariamente avere .

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
  • (EN) Krantz, S. G. "The Maximum Modulus Principle" and "Boundary Maximum Modulus Theorem." §5.4.1 and 5.4.2 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 76–77, 1999.

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