Superficie di Enneper

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Superficie Enneper

In matematica, nel campo della geometria differenziale e in geometria algebrica, la superficie di Enneper è una superficie che può essere descritta in forma parametrica da:

È stata introdotta da Alfred Enneper in connessione con la Teoria delle superfici minime.

I metodi di implicitizzazione della geometria algebrica possono essere utilizzati per dimostrare che i punti appartenenti alla superficie di Enneper soddisfano la seguente equazione polinomiale di nono grado

Dualmente, il piano tangente nel punto con parametri dati è dove:

I suoi coefficienti soddisfano l'equazione polinomiale implicita di 6º grado:
Lo jacobiano, la Curvatura gaussiana e la Curvatura media sono date da:
La curvatura totale è . Osserman dimostrò che una superficie minima completa in con curvatura totale è una catenoide oppure una superficie di Enneper.[1] Un'altra proprietà è che tutte le superfici di Bézier bicubiche minimali sono, a meno di trasformazioni affini, pezzi della superficie di Enneper. Usando la parametrizzazione di Weierstrass-Enneper , per un intero [2], si può generalizzare la superficie di Enneper ad ordini maggiori di simmetrie rotazionali. Inoltre, si può generalizzare la superficie in dimensioni maggiori. Si è dimostrata l'esistenza di superfici di Enneper in for per .[3]

Codice Octave[modifica | modifica wikitesto]

È possibile avere un'immagine con Octave:

function enneper
  u = linspace(-10,10,30); % divide l'intervallo
  v = linspace(-10,10,30);

  [U,V] = meshgrid(u,v);

  x = U.*(1-(U.^2)/3 + V.^2)/3;
  y = -V.*(1-(V.^2)/3 + U.^2)/3;
  z = (U.^2-V.^2)/3;

  axis("equal");
  mesh(x,y,z);
  axis off; % toglie gli assi

endfunction


Una superficie di Enneper
ruotata di 60° attorno all'asse z

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
  2. ^ Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1.
  3. ^ Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569