Congiunzione logica

In matematica, la congiunzione logica (simbolo $\land$ che si legge e) è un connettivo logico attraverso il quale, a partire da due proposizioni $A$ e $B$, si forma una nuova proposizione chiamata congiunzione di $A$ e $B$ o congiunzione di $A$ et $B$, che si indica con $A\land B$, la quale è vera soltanto nel caso in cui $A$ e $B$ siano entrambe vere, mentre è falsa in tutti gli altri casi possibili.

Quando si hanno due enunciati aperti $p(x)$ e $q(x)$, l'insieme di verità di $p(x)\wedge q(x)$ corrisponde all'intersezione tra i due insiemi di verità. In effetti, la congiunzione gode delle stesse proprietà dell'intersezione.

La congiunzione in algebra booleana è indicata con l'operatore AND.

Tabella di verità:

A	B	A$\land$B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

L'operatore di AND è alla base della possibilità di formalizzazione matematica di un qualsiasi problema logico: il problema viene tradotto in un sistema di equazioni lineari, in cui appunto si presentano un insieme di equazioni (condizioni) che devono tutte essere soddisfatte (vere) contemporaneamente. Ad esempio, il problema: <<trovare i due numeri la cui somma è 24 e (= AND) la differenza è 6>>,

si traduce nel sistema lineare:

Errore del parser (funzione sconosciuta '\begin{matrix}'): {\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x + y = 24 \cdots 1° condizione \\ x - y = 16 \cdots 2° condizione \\ \end{matrix} \right.}

L'operatore di AND equivale alla parentesi graffa del sistema lineare, che richiede di nuovo che tutte le due condizioni siano soddisfatte (vere) contemporaneamente.

Proprietà

• Proprietà di idempotenza: $p\wedge p=p$
• Proprietà commutativa: $p\wedge q=q\wedge p$
• Proprietà associativa: $(p\wedge q)\wedge r=p\wedge (q\wedge r)$
• Proprietà distributiva (rispetto alla disgiunzione inclusiva): $p\wedge (q\vee r)=(p\wedge q)\vee (p\wedge r)$
• Legge di assorbimento (rispetto alla disgiunzione inclusiva): $p\wedge (p\vee q)=p$
• Legge di De Morgan ${\overline {p\wedge q}}={\overline {p}}\vee {\overline {q}}$

Voci correlate

• Algebra di Boole
• Connettivo logico

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