Relazione (matematica)

In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.

Definizione

Relazione tra due insiemi

Una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, $R\subset A\times B$.

Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

$(a,b)\in R$

$R(a,b)$

$aRb$

e quando sono verificate si dice che $a$ è in relazione con $b$ (secondo la relazione $R$).

Relazioni tra n insiemi

Una relazione tra n insiemi $S_{1},\ldots ,S_{n}$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano $S_{1}\times \ldots \times S_{n}$, ovvero un insieme di n-uple ordinate $(s_{1},\ldots ,s_{n})$. È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni

$(s_{1},\ldots ,s_{n})\in R$

$R(s_{1},\ldots ,s_{n})$

Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi ${\mathcal {F}}=\{S_{i}\}i\in I$ è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano $\prod _{i\in I}S_{i}$.

Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme $A$ (anche detta una relazione unaria o proprietà):

$R=\{a\in A\mid R(a)\}$

L'insieme $R$ è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad $R$.

Proprietà

Si dice che una relazione binaria $R\subset A\times A$ è una relazione di equivalenza, o più semplicemente un'equivalenza, se è:

• Riflessiva: $\forall a\in A,\ aRa$
• Simmetrica: $\forall a,b\in A,\ aRb\Rightarrow bRa$
• Transitiva: $\forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$

Si dice che $R$ è una relazione d'ordine, o più semplicemente un ordine, se è:

• Riflessiva: $\forall a\in A,\ aRa$
• Antisimmetrica: $\forall a,b\in A,\ aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b$
• Transitiva: $\forall a,b,c\in A,\ aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc$

In più è totale se vale la linearità o totalità:

• Totalità: $\forall a,b\in A,\ aRb\vee bRa$.

Esempi

• L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali

$R=\{(a,b)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid a>b\}$

ovvero $a\in \mathbb {R}$ è in relazione maggiore con $b\in \mathbb {R}$ quando $a>b$ (cioè $aRb$).

• Sui numeri naturali, la differenza $a-b=c$ mette in relazione triple $(a,b,c)$ secondo

$R=\{(a,b,c)\in \mathbb {N} ^{3}\mid a-b=c\}$

• Ogni funzione $f\colon A\to B$ è una relazione

$R_{f}=\{(a,b)\in A\times B\mid f(a)=b\}$

e può essere identificata con il suo grafico.

• Su numeri reali la positività ($x\geqslant 0$) è una relazione:

$R=\{x\in \mathbb {R} \mid x\geqslant 0\}$

• Una relazione di equivalenza è una relazione.

Applicazioni

Informatica

Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:

• nel modello entità-relazioni le relazioni sono relazioni tra gli insiemi entità;
• nel modello relazionale le relazioni sono relazioni tra gli insiemi domini; la rappresentazione tabulare delle t-uple è la rappresentazione per elencazione delle n-uple (in inglese t-uples).

Voci correlate

• Ennupla
• Prodotto cartesiano
• Proprietà (matematica)
• Relazione binaria
• Relazione d'ordine
• Relazione di equivalenza
• Funzione (matematica)
• Funzione polidroma
• Algebra relazionale
• Modello relazionale

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