Quadricorrente: differenze tra le versioni

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In fisica, in particolare in elettrodinamica, la quadricorrente è il quadrivettore Lorentz covariante la cui componente temporale è la densità di carica elettrica e quella spaziale è la densità di corrente elettrica.

Definizione

La quadricorrente è un quadrivettore definito come

J^{a}=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)

dove $c$ è la velocità della luce, $\rho$ la densità di carica e $\mathbf {j}$ la densità di corrente, mentre $a$ denota le dimensioni spaziotemporali.

La quadricorrente può essere espressa in funzione della quadrivelocità $U^{\alpha }$ come:^[1]^[2]

J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho {\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }

dove la densità di carica $\rho$ è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la corrente elettrica, mentre $\rho _{0}$ è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità $u=\|\mathbf {u} \|$ pari alla norma della componente spaziale di $U^{\alpha }$ .

In relatività generale la quadricorrente è definita come la divergenza del vettore spostamento elettromagnetico, dato da:

{\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\qquad J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }

Equazione di continuità

In relatività speciale la legge di conservazione della carica, che nel limite non relativistico è espressa dall'equazione di continuità, assume la seguente forma tensoriale:^[3]

\partial _{\alpha }\cdot J=\partial _{a}J^{a}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0

dove $\partial _{\alpha }$ è il quadrigradiente, dato da:

\partial _{\alpha }\ =\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\qquad \partial _{a}J^{a}=\sum _{i=0}^{3}\partial _{i}J^{i}

L'equazione di continuità si può scrivere anche come:

J^{a}{}_{,a}=0

dove $;$ denota la derivata covariante.

Note

^ Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519
^ Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123
^ Jackson, Pag. 554

Bibliografia

(EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 047130932X.

Voci correlate

[1] Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519

[2] Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123

[3] Jackson, Pag. 554

[1]

[2]

[3]

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 La quadricorrente è un [[quadrivettore]] definito come
-:<math>\rho v^\alpha = \rho  \left(c, \mathbf{v} \right) = \rho \left(c, v_x , v_y , v_z \right) </math>
+:<math>J^a = \left(c \rho, \mathbf{j} \right) = \left(c \rho, j^1 , j^2 , j^3 \right) </math>
-dove <math>c</math> è la [[velocità della luce]], <math>\rho</math> la [[densità di carica]] elettrica e il suo prodotto per la velocità <math>\rho \mathbf{v}</math> la [[densità di corrente]], mentre <math>\alpha</math> denota le dimensioni [[spaziotempo|spaziotemporali]].
+dove <math>c</math> è la [[velocità della luce]], <math>\rho</math> la [[densità di carica]] e <math>\mathbf{j}</math> la [[densità di corrente]], mentre <math>a</math> denota le dimensioni [[spaziotempo|spaziotemporali]].
-La quadricorrente può essere espressa in funzione della [[quadrivelocità]] <math>v^\alpha</math> come:<ref>Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519</ref><ref>Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123</ref>
+La quadricorrente può essere espressa in funzione della [[quadrivelocità]] <math>U^\alpha</math> come:<ref>Roald K. Wangsness, Electromagnetic Fields, 2nd edition (1986), p. 518, 519</ref><ref>Melvin Schwartz, Principles of Electrodynamics, Dover edition (1987), p. 122, 123</ref>
-:<math>J^\alpha = \rho_0 v^\alpha = \rho\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} v^\alpha </math>
+:<math>J^\alpha = \rho_0 U^\alpha = \rho\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} U^\alpha </math>
-dove la densità di carica <math>\rho</math> è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la [[corrente elettrica]], mentre <math>\rho_0</math> è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità <math>v = \| \mathbf v \|</math> pari alla norma della componente spaziale di <math>v^\alpha</math>.
+dove la densità di carica <math>\rho</math> è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la [[corrente elettrica]], mentre <math>\rho_0</math> è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità <math>u = \| \mathbf u \|</math> pari alla norma della componente spaziale di <math>U^\alpha</math>.
 In [[relatività generale]] la quadricorrente è definita come la [[divergenza]] del vettore spostamento elettromagnetico, dato da:
-:<math>\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \rho \qquad v^\mu = \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}</math>
+:<math>\mathcal{D}^{\mu \nu} \, = \, \frac{1}{\mu_{0}} \, g^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, g^{\beta \nu} \, \sqrt{-g} \qquad J^\mu = \partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu}</math>
 ==Equazione di continuità==
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 In [[relatività speciale]] la legge di conservazione della carica, che nel limite non relativistico è espressa dall'equazione di continuità, assume la seguente forma tensoriale:<ref>{{Cita|Jackson|Pag. 554|Jackson}}</ref>
-:<math>\partial_\alpha \cdot (\rho V^\alpha) = \frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{\rho \mathbf v} = 0</math>
+:<math>\partial_\alpha \cdot J = \partial_a J^a = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0</math>
 dove <math>\partial_\alpha</math> è il [[quadrigradiente]], dato da:
-:<math>\partial_\alpha \ =  \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right) \qquad \partial_a v^a =  \sum_{i=0}^{3} \partial_i v^i</math>
+:<math>\partial_\alpha \ =  \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right) \qquad \partial_a J^a =  \sum_{i=0}^{3} \partial_i J^i</math>
 L'equazione di continuità si può scrivere anche come:
-:<math>(\rho v^a)_{;a}=0</math>
+:<math>J^a{}_{,a}=0</math>
 dove <math>;</math> denota la [[derivata covariante]].

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Indice

Definizione

Equazione di continuità

Note

Bibliografia

Voci correlate

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Definizione

Equazione di continuità

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