Matrice trasposta: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], la '''matrice trasposta''' di una [[matrice]] è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico americano [[Arthur Cayley]].<ref>Arthur Cayley (1858) [http://books.google.com/books?id=flFFAAAAcAAJ&pg=PA31#v=onepage&q&f=false "A memoir on the theory of matrices,"] ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''148''' : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.</ref> |
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Idea di calcolo: ruotare la matrice <math>A</math> di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice <math>A</math> ruotata di 90°). |
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==Note== |
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==Bibliografia== |
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==Collegamenti esterni== |
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Versione delle 01:25, 12 ago 2013
In matematica, la matrice trasposta di una matrice è la matrice ottenuta scambiandone le righe con le colonne. Fu introdotta nel 1858 dal matematico americano Arthur Cayley.[1]
Definizione
La trasposta di una matrice è la matrice il cui generico elemento con indici è l'elemento con indici della matrice originaria. In simboli:
con lo spazio vettoriale delle matrici di dimensione n. In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
L'operazione di trasposizione è definita sia su matrici quadrate che rettangolari, e quindi anche su vettori. In particolare, un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica, e deve essere una matrice quadrata. Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1, ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici e di dimensioni opportune si abbia che:
l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari ed , vale:
Più in generale, dati N scalari ed N matrici di pari dimensioni , vale:
dove indica una sommatoria.
Proprietà
Valgono le seguenti proprietà:
- La trasposta della trasposta è la matrice stessa:
- La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte:
- L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione:
- Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
- Se è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato:
- Nel caso di matrici quadrate, il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale:
- Il prodotto scalare tra due vettori colonna e può essere calcolato come:
- che può essere scritto usando la notazione di Einstein come .
- Se ha solamente elementi reali, allora è una matrice semidefinita positiva.
- La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale:
- Se è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
Trasposta di applicazioni lineari
Più in astratto, se e sono due spazi vettoriali di dimensione finita sullo stesso campo e è un'applicazione lineare allora possiamo definire l'applicazione duale di come la mappa , tra gli spazi duali e . Fissate due basi e di e rispettivamente, si dimostra che se è la matrice associata a rispetto tali basi allora la matrice associata a rispetto alle basi duali di e è proprio la trasposta di .
Esempi
Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° antiorario, dopodiché effettuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice ruotata di 90°).
Note
- ^ Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
Bibliografia
- (EN) F.R. [F.R. Gantmakher] Gantmacher, The theory of matrices , 1 , Chelsea, reprint (1959) pp. 19
Collegamenti esterni
- (EN) O.A. Ivanova, Transposed matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.