Relazione (matematica): differenze tra le versioni
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{{C|Termini colloquiali come "si intende, grosso modo," ; termini poco comprensibili e non so se corretti come " sono distinte primariamente secondo la loro arietà", ecc.|matematica|aprile 2012}} |
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Un esempio di relazione è l'usuale [[relazione d'ordine]] ''maggiore'' sui numeri reali. |
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== Definizione == |
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=== Relazione tra più di due insiemi === |
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Una relazione tra ''n'' insiemi <math>S_1,\ldots,S_n</math> è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano <math>S_1\times\ldots\times S_n</math>, ovvero un insieme di [[ennupla|''n''-uple]] <math>(s_1,\ldots,s_n)</math>. È anche detta ''relazione ''n''-aria'' (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). |
Una relazione tra ''n'' insiemi <math>S_1,\ldots,S_n</math> è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano <math>S_1\times\ldots\times S_n</math>, ovvero un insieme di [[ennupla|''n''-uple]] ordinate <math>(s_1,\ldots,s_n)</math>. È anche detta ''relazione ''n''-aria'' (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). |
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Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni |
Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni |
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:<math>(s_1,\ldots,s_n)\in R</math> |
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:<math>R(s_1,\ldots,s_n)</math> |
:<math>R(s_1,\ldots,s_n)</math> |
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Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi <math>\mathcal{F}=\{S_i\}i\in I</math> è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano <math>\prod_{i\in I}S_i</math>. |
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Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme <math>A</math> (anche detta una ''relazione unaria'' o [[proprietà (matematica)|proprietà]]): |
Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme <math>A</math> (anche detta una ''relazione unaria'' o [[proprietà (matematica)|proprietà]]): |
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:<math>R=\{a\in A\mid R(a)\}</math> |
:<math>R=\{a\in A\mid R(a)\}</math> |
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L'insieme <math>R</math> è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad <math>R</math>. |
L'insieme <math>R</math> è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad <math>R</math>. |
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== Proprietà == |
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Si dice che <math>R</math>, relazione binaria, è una [[Relazione di equivalenza|relazione di equivalenza]], o più semplicemente ''equivalenza'' se è: |
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* Riflessiva: <math>∀ a,\ aRa</math> |
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* Simmetrica: <math>∀ a,b\ aRb ⇒ bRa</math> |
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* [[Transitività|Transitiva]]: <math>∀ a,b,c\ aRb ∧ bRc ⇒ aRc</math> |
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Si dice che <math>R</math>, relazione binaria, è un [[Relazione d'ordine|ordine]] se è: |
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* Riflessiva: <math>∀ a,\ aRa</math> |
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* Antisimmetrica: <math>∀ a,b\ aRb ∧ bRa ⇒ a=b</math> |
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* Transitiva: <math>∀ a,b,c\ aRb ∧ bRc ⇒ aRc</math> |
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In più è [[Ordine totale|totale]] se vale la ''linearità'' o ''totalità''. |
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== Esempi == |
== Esempi == |
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Versione delle 15:08, 5 apr 2013
In matematica una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due o più insiemi.
Definizione
Relazione tra due insiemi
Una relazione tra due insiemi e (o relazione binaria) è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano, .
Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni
e quando sono verificate si dice che è in relazione con (secondo la relazione ).
Relazione tra più di due insiemi
Una relazione tra n insiemi è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano , ovvero un insieme di n-uple ordinate . È anche detta relazione n-aria (in casi specifici anche ternaria, quaternaria, eccetera). Si utilizzano in maniera equivalente le notazioni
Con notazione diversa, una relazione su una famiglia di insiemi è un sottoinsieme del loro prodotto cartesiano .
Formalmente è possibile definire una relazione su un solo insieme (anche detta una relazione unaria o proprietà):
L'insieme è (banalmente) l'insieme degli elementi che godono della proprietà di appartenere ad .
Proprietà
Si dice che , relazione binaria, è una relazione di equivalenza, o più semplicemente equivalenza se è:
- Riflessiva: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle ∀ a,\ aRa}
- Simmetrica: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle ∀ a,b\ aRb ⇒ bRa}
- Transitiva: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle ∀ a,b,c\ aRb ∧ bRc ⇒ aRc}
Si dice che , relazione binaria, è un ordine se è:
- Riflessiva: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle ∀ a,\ aRa}
- Antisimmetrica: Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle ∀ a,b\ aRb ∧ bRa ⇒ a=b}
- Transitiva: Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle ∀ a,b,c\ aRb ∧ bRc ⇒ aRc}
In più è totale se vale la linearità o totalità.
Esempi
- L'ordine stretto maggiore sui numeri reali mette in relazione coppie di numeri reali
ovvero è in relazione maggiore con quando (cioè ).
- Sui numeri naturali, la differenza mette in relazione triple secondo
- Ogni funzione è una relazione
e può essere identificata con il suo grafico.
- Su numeri reali la positività () è una relazione:
- Una relazione di equivalenza è una relazione.
Applicazioni
Informatica
Le "relazioni" che vengono utilizzate nelle basi di dati sono davvero delle relazioni:
- nel modello entità-relazioni le relazioni sono relazioni tra gli insiemi entità
- nel modello relazionale le relazioni sono relazioni tra gli insiemi domini; la rappresentazione tabulare delle t-uple è la rappresentazione per elencazione delle n-uple (in inglese t-uples).
Voci correlate
- Ennupla
- Prodotto cartesiano
- Proprietà (matematica)
- Relazione binaria
- Relazione d'ordine
- Relazione di equivalenza
- Algebra relazionale
- Modello relazionale