Operatore differenziale

In matematica un operatore differenziale è un operatore, solitamente lineare, definito come una funzione dell'operatore differenziazione.

Notazioni

Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono ${d \over dx}$, $D$ quando la variabile di differenziazione non necessita di essere esplicitata, e $D_{x}$ quando la variabile è dichiarata esplicitamente. Per le derivate successive si usa rispettivamente $d^{n} \over dx^{n}$, $D^{n}$ e $D_{x}^{n}$. La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma:

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

nello studio delle equazioni differenziali. Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come:

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}$

Un altro operatore differenziale è l'operatore $\Theta$, definito come:

$\Theta =z{d \over dz}.$

Operatori differenziali lineari

Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una trasformazione lineare, cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

$A=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(x){\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$

che applicato ad un elemento dello spazio funzionale $f(x)$:

$Af(x)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(x){\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}$

In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare $\langle g|Af\rangle$ è un elemento della matrice.

Proprietà

Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:

1. $(A+B)f=Af+Bf$
2. $(A\cdot B)f=A(Bf)$
3. $(AB)C=A(BC)$
4. $A(B+C)=AB+AC$

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

$AB\neq BA$

Definendo commutatore:

$AB-BA=[A,B]$

possiamo dire che due operatori commutano se e solo se: $[A,B]=0$.

Ogni polinomiale in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola

(D₁oD₂)(f) = D₁ [D₂(f)].

Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D₂ deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D₁ richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è commutativo: un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio la relazione semplice in meccanica quantistica

$Dx-xD=1\$

Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.

Potenza

Definiamo potenza ennesima di un operatore:

$F(A)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}A^{n}$

se la funzione $F(A)$ è sviluppabile in serie di potenze:

$F(t)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}t^{n}$

Operatore aggiunto

Dato un operatore lineare differenziale:

$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$

l' aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore $T^{*}$ tale che

$\langle u,Tv\rangle =\langle T^{*}u,v\rangle$

dove la notazione $\langle ,\rangle$ indica il prodotto scalare o prodotto interno. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.

Nello spazio funzionale delle funzioni a quadrato sommabile, il prodotto scalare è definito da:

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx.$

Se a questo aggiungiamo la condizione che f e g tendono a zero per $x\to a$ e $x\to b$, è allora possibile definire l'aggiunto come:

$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]$.

Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di operatore aggiunto formale.

L'operatore di Sturm-Liouville è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine L può essere scritto nella forma:

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u\;$

Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:

${\begin{matrix}L^{*}u&=&(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&=&-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&=&-(pu)''+(p'u)'+qu\\&=&-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&=&-p'u'-pu''+qu\\&=&-(pu')'+qu&=&Lu\\\end{matrix}}$

Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella Teoria di Sturm-Liouville dove vengono esaminate le autofunzioni di questo operatore (analoghe agli autovettori)

Più variabili

La stessa costruzione può essere usata con le derivate parziali.

Voci correlate

• Operatore ellittico
• Operatore parabolico
• Operatore iperbolico
• Derivata parziale
• Operatore differenziale lineare