Operatore differenziale: differenze tra le versioni
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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]] [[trasformazione lineare|lineare]] definito come una funzione dell'operatore [[derivata|differenziazione]]. |
In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]], solitamente [[trasformazione lineare|lineare]], definito come una funzione dell'operatore [[derivata|differenziazione]]. |
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==Notazioni== |
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==Operatori differenziali lineari== |
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Un operatore differenziale lineare è un particolare [[operatore differenziale]] che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale: |
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:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n}</math> |
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che applicato ad un elemento dello [[spazio funzionale]] <math>f(x)</math>: |
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:<math>A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n f(x)}{dx^n}</math> |
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In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice. |
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===Proprietà=== |
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Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono: |
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# <math>(AB)C = A(BC)</math> |
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# <math>A(B+C) = AB + AC</math> |
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Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo: |
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:<math>AB \ne BA</math> |
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Definendo [[commutatore]]: |
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:<math>AB - BA = [A,B]</math> |
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possiamo dire che due operatori commutano se e solo se: <math>[A,B]=0</math>. |
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Definiamo '''potenza ennesima''' di un operatore: |
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:<math>F(A) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n A^n</math> |
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se la funzione <math>F(A)</math> è sviluppabile in serie di potenze: |
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:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n</math> |
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Dato un operatore lineare differenziale: |
Dato un operatore lineare differenziale: |
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: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math> |
: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math> |
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==Proprietà degli operatori differenziali== |
==Proprietà degli operatori differenziali== |
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Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle [[derivata|derivate]], che sono lineari |
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dove ''f'' e ''g'' sono funzioni e ''a'' è una costante. |
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Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola |
Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola |
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Versione delle 16:34, 31 dic 2012
In matematica un operatore differenziale è un operatore, solitamente lineare, definito come una funzione dell'operatore differenziazione.
Notazioni
Il più comune operatore differenziale è la derivata. Comuni notazioni sono:
- quando la variabile di differenziazione è chiara, e
- quando la variabile è dichiarata esplicitamente.
Per le derivate successive
La notazione D è accreditata a Oliver Heaviside, che considerava gli operatori differenziali della forma
nello studio delle equazioni differenziali.
Uno dei più frequenti operatori differenziali è il laplaciano, definito come
Un altro operatore differenziale è l'operatore Θ, definito come
Operatori differenziali lineari
Un operatore differenziale lineare è un particolare operatore differenziale che agisce come una trasformazione lineare, cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:
che applicato ad un elemento dello spazio funzionale :
In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare è un elemento della matrice.
Proprietà
Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:
Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:
Definendo commutatore:
possiamo dire che due operatori commutano se e solo se: .
Potenza
Definiamo potenza ennesima di un operatore:
se la funzione è sviluppabile in serie di potenze:
Operatore aggiunto
Dato un operatore lineare differenziale:
l' aggiunto di tale operatore è definito come l'operatore tale che
dove la notazione indica il prodotto scalare o prodotto interno. La definizione di aggiunto dipende quindi dalla definizionne di prodotto scalare.
Nello spazio funzionale delle funzioni a quadrato sommabile, il prodotto scalare è definito da:
Se a questo aggiungiamo la condizione che f e g tendono a zero per e , è allora possibile definire l'aggiunto come:
- .
Questa formula non dipende esplicitamente dalla definizione di prodotto scalare ed è talvolta utilizzata direttamente come definizione di operatore aggiunto, nel qual caso di parla più propriamente di operatore aggiunto formale.
L'operatore di Sturm-Liouville è un esempio ben conosciuto di operatore formale autoaggiunto. L'operatore differenziale del secondo ordine L può essere scritto nella forma:
Che tale operatore sia effettivamente un operatore formale autoaggiunto può essere provato verificando come segue la definizione data sopra:
Questo operatore gioca un ruolo fondamentale nella Teoria di Sturm-Liouville dove vengono esaminate le autofunzioni di questo operatore (analoghe agli autovettori)
Proprietà degli operatori differenziali
Ogni polinomiale in D con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola
- (D1oD2)(f) = D1 [D2(f)].
Ogni coefficiente funzionale dell'operatore D2 deve essere differenziabile tante volte quanto l'operatore D1 richiede. Per ottenere un anello di tali operatori bisogna assumere che siano usate derivate di ogni ordine. Inoltre questo anello non è commutativo: un operatore gD non è in generale uguale a Dg. Per esempio la relazione semplice in meccanica quantistica
Il sottoanello di operatori che sono polinomiali in D con coefficienti costanti è invece commutativo. Può essere caratterizzato in un altro modo: esso consiste negli operatori invarianti per traslazione.
Più variabili
La stessa costruzione può essere usata con le derivate parziali.
Voci correlate
- Operatore ellittico
- Operatore parabolico
- Operatore iperbolico
- Derivata parziale
- Operatore differenziale lineare