In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
=== Esempio===
== Esempi ==
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A =
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Versione delle 18:21, 30 set 2012
In matematica, l'operatore di trasposizione, che si denota con un apice o con una T ad esponente, associa ad una matrice la sua relativa trasposta, ovvero la matrice il cui generico elemento con indici (i,j) è l'elemento con indici (j,i) della matrice originaria. In simboli:
In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
Esempi
Idea di calcolo: ruotare la matrice di 90° antiorario, dopodiché effetuare lo specchio di quest'ultima (nel primo esempio: la riga 2 rimane invariata, mentre la riga 1 e 3 vengono scambiate della matrice ruotata di 90°).
Proprietà
Se intendiamo la trasposta come una matrice di trasformazione, notiamo che:
cioè otteniamo una matrice con le dimensioni invertite.
Valgono le seguenti proprietà:
La trasposta della trasposta è la matrice stessa.
La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle due matrici trasposte.
L'ordine delle matrici si inverte per la moltiplicazione.
Questo risultato è facilmente estendibile al caso più generale, dove si considerano più matrici:
Se c è uno scalare, la trasposta di uno scalare è lo scalare invariato.
[solo per matrici quadrate] Il determinante della trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale.
Il prodotto scalare tra due vettori colonna a e b può essere calcolato come
che può essere scritto usando la notazione di Einstein come aibi.
Se A ha solamente elementi reali, allora ATA è una matrice semidefinita positiva.
La trasposta di una matrice invertibile è ancora invertibile e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice iniziale.
Se A è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
Osservazioni
La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su vettori. In particolare un vettore colonna trasposto è un vettore riga e viceversa.
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta matrice simmetrica. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.
Uno scalare può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica 1 × 1 ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici A e B di dimensioni opportune si abbia che
l'operatore di trasposizione è lineare, ovvero, dati due scalari k ed l, vale
Più in generale, dati N scalari ki ed N matrici di pari dimensioni Ai, vale