Versore: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso. |
In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso. |
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Vengono spesso utilizzati i versori associati agli [[assi cartesiani]] nel piano |
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<math>\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math> |
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<math>\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right)</math> |
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e nello spazio tridimensionale |
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Esempi di versori comunemente utilizzati sono: |
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<math>\hat{\imath} = \left (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math> |
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* i versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con: |
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<math>\hat{\jmath} = \left (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} \right) \qquad </math> |
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<math>\hat{ |
:# <math>\hat{\imath},\ \hat{\jmath},\ \hat {k} </math> |
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:# <math>\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z </math> |
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:# <math>\mathbf{e}_1,\ \mathbf{e}_2,\ \mathbf{e}_3 </math> |
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:# <math>\hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} </math> |
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:# <math>\mathbf{x}_0,\ \mathbf{y}_0,\ \mathbf{z}_0 </math> |
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* i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante. |
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In modo analogo vengono definiti i versori <math>\hat{e}_r</math> ed <math>\hat{e}_\theta</math> che in ogni punto dello spazio indicano rispettivamente la direzione radiale e angolare riguardanti le [[coordinate polari]] ed i versori <math>\hat{t}</math> ed <math>\hat{n}</math>, che indicano rispettivamente la direzione [[tangente (trigonometria)|tangente]] e [[perpendicolarità|normale]] in ogni punto di una data [[traiettoria]]. |
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* i versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con: |
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:# <math>\hat{r},\ \hat{\theta} </math> |
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:# <math>\hat{\mathbf{r}},\ \hat{\boldsymbol{\theta}} </math> |
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:# <math>\mathbf{e}_r,\ \mathbf{e}_{\theta} </math> |
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:# <math>\mathbf{r}_0,\ \boldsymbol{\theta}_0 </math> |
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* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (trigonometria)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano con: |
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:# <math>\hat{t},\ \hat{n} </math> |
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:# <math>\hat{\mathbf{t}},\ \hat{\mathbf{t}} </math> |
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:# <math>\mathbf{e}_t,\ \mathbf{e}_n </math> |
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==[[Derivata]] di un versore== |
==[[Derivata]] di un versore== |
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Sia |
Sia <math>\hat{\mathbf{v}}(t)</math> un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo [[prodotto scalare]] di questo vettore per se stesso abbiamo: |
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:<math>\ |
:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = \left|\hat{\mathbf{v}}\right|^2</math> |
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ricordando che i versori hanno modulo unitario: |
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Derivando membro a membro, e ricordando che il modulo di un versore è costante, e quindi ha derivata nulla, risulta: |
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:<math>\ |
:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = 1</math> |
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Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo: |
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⚫ | Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di |
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:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0</math> |
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:<math>2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0</math> |
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:<math>\hat\mathbf{{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0</math> |
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⚫ | Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari. |
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La derivata di un versore, in generale, non è un versore, per dimostrarlo basta considerare il versore in |
La derivata di un versore, in generale, non è un versore, per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari: |
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:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath})</math> |
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dove il termine |
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:<math> |
:<math>-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}</math> |
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è il versore ortogonale di modulo unitario, |
è il versore ortogonale di modulo unitario, |
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Versione delle 02:03, 11 lug 2011
In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.
Dato un qualunque vettore (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,
Esempi di versori comunemente utilizzati sono:
- i versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
- i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.
- i versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:
- Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano con:
Derivata di un versore
Sia un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:
ricordando che i versori hanno modulo unitario:
Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:
Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di , si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.
La derivata di un versore, in generale, non è un versore, per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:
che in coordinate cartesiane diviene:
derivando rispetto a si ottiene:
dove il termine
è il versore ortogonale di modulo unitario,
e dove il termine:
è in generale diverso dall'unità.
Altri progetti
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