Versore

In matematica, un versore è un vettore in uno spazio normato di modulo unitario, utilizzato per indicare una particolare direzione e verso.

Dato un qualunque vettore $\mathbf {v}$ (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per l'inverso del suo modulo,

${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}$

Esempi di versori comunemente utilizzati sono:

• i versori associati agli assi cartesiani nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:

1. ${\hat {\imath }},\ {\hat {\jmath }},\ {\hat {k}}$
2. $\mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$
3. $\mathbf {e} _{1},\ \mathbf {e} _{2},\ \mathbf {e} _{3}$
4. ${\hat {\mathbf {x} }},\ {\hat {\mathbf {y} }},\ {\hat {\mathbf {z} }}$
5. $\mathbf {x} _{0},\ \mathbf {y} _{0},\ \mathbf {z} _{0}$

• i versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante.
• i versori associati ad un sistema di coordinate polari nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:

1. ${\hat {r}},\ {\hat {\theta }}$
2. ${\hat {\mathbf {r} }},\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}$
3. $\mathbf {e} _{r},\ \mathbf {e} _{\theta }$
4. $\mathbf {r} _{0},\ {\boldsymbol {\theta }}_{0}$

• Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore tangente e il versore normale. Si indicano con:

1. ${\hat {t}},\ {\hat {n}}$
2. ${\hat {\mathbf {t} }},\ {\hat {\mathbf {t} }}$
3. $\mathbf {e} _{t},\ \mathbf {e} _{n}$

Derivata di un versore

Sia ${\hat {\mathbf {v} }}(t)$ un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo prodotto scalare di questo vettore per se stesso abbiamo:

${\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}$

ricordando che i versori hanno modulo unitario:

${\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1$

Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:

${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}+{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0$

$2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0$

${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0$

Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di ${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}$, si evince che la derivata di un versore è sempre perpendicolare al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la proiezione di un vettore sull'altro, che si annulla sempre solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.

La derivata di un versore, in generale, non è un versore, per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:

${\hat {\mathbf {v} }}(t)=\theta (t)\,{\hat {\theta }}+1\,{\hat {r}}$

che in coordinate cartesiane diviene:

${\hat {\mathbf {v} }}(t)=\cos \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\imath }}+\sin \left(\theta (t)\right)\,{\hat {\jmath }}$

derivando rispetto a $t$ si ottiene:

${\hat {\mathbf {v} }}'(t)=\theta '(t)(-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }})$

dove il termine

$-\sin(\theta (t))\,{\hat {\imath }}+\cos(\theta (t))\,{\hat {\jmath }}$

è il versore ortogonale di modulo unitario,

e dove il termine:

$\theta '(t)$

è in generale diverso dall'unità.

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