Onda elettromagnetica in un conduttore

In fisica, lo studio di un'onda elettromagnetica in un conduttore affronta il problema di un'onda elettromagnetica che incide su un conduttore e che ha come effetto di accelerare gli elettroni di conduzione, che effettuano un moto oscillatorio dipendente dalla forma dell'onda.
L'onda elettromagnetica non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte riflessa o dissipata per effetto Joule.

Proprietà dei campi in un conduttore

Le equazioni di Maxwell nel caso di un conduttore ohmico omogeneo e isotropo sono:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0$

$\nabla ^{2}\mathbf {H} -\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=0$

Esse si possono ricavare a partire da quelle omogenee per mezzo della legge di Ohm generalizzata:

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}$

dove $\sigma$ è la conducibilità elettrica e $\mathbf {J}$ è la densità di corrente.
Dalla quarta equazione di Maxwell, sostituendo a $\mathbf {J}$ la legge di Ohm:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\epsilon {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

applicando il rotore ed usando le relazioni tra operatori si ottiene:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =-\nabla ^{2}\mathbf {H} +\mathbf {\nabla } \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} =\sigma (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} )+\epsilon {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} )$

Sapendo che nella seconda uguaglianza:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} )=0$

e che per la terza equazione di Maxwell:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-\mu {\frac {\partial H}{\partial t}}$

applicando tale procedura in maniera speculare alla terza equazione di Maxwell si ottengono le equazioni di Maxwell nei conduttori:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} -\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0$

$\nabla ^{2}\mathbf {H} -\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}\mathbf {H} }{\partial t^{2}}}-\sigma \mu {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}=0$

La soluzione generale nel caso di onda piana che si propaga nella direzione x è:

$\phi (x,t)=\Phi (x)e^{j\omega t}\$

dove j è l'unità immaginaria e la funzione complessa $\Phi (x)$ ha soluzione del tipo:

$\Phi (x)=Ae^{j\alpha x}\$

dove:

$\alpha ^{2}=\omega ^{2}\epsilon \mu -j\omega \sigma \mu \$

con parte reale e immaginaria data da:

$\Re (\alpha )=\omega {\sqrt {{\frac {\epsilon \mu }{2}}\left(1\pm {\sqrt {1+{\frac {\sigma ^{2}}{\omega ^{2}\epsilon ^{2}}}}}\right)}}$

$\Im (\alpha )={\frac {\omega \sigma \mu }{2\cdot \Re (\alpha )}}$

In definitiva l'onda piana assume una soluzione del tipo:

$\phi (x,t)=Ae^{\Im (\alpha )\cdot x}e^{j(\Re (\alpha )\cdot x+\omega t)}$

A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per $\Re (\alpha )<0$ con coefficiente di attenuazione $|\Im (\alpha )|$.

Analogamente alle onde che incidono su un conduttore ohmico si parla di effetto pelle nel caso un conduttore sia percorso da corrente alternata, allora l'oscillazione è maggiore sullo strato superficiale del conduttore. Inoltre l'incidenza di onde elettromagnetiche provocano i fenomeni di rifrazione e riflessione.

Voci correlate

• Onda
• Radiazione elettromagnetica
• Campo elettromagnetico
• Equazioni di Maxwell
• Corrente elettrica
• Corrente alternata
• Effetto pelle
• Riflessione
• Rifrazione