Onda elettromagnetica in un conduttore: differenze tra le versioni
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In [[fisica]], lo studio di un''''onda elettromagnetica in un conduttore''' affronta il problema di un'[[onda elettromagnetica]] che incide su un [[conduttore]] e che ha come effetto di accelerare gli [[elettrone|elettroni]] di conduzione, che effettuano un moto oscillatorio forzato che dipende dalla forma dell'onda.<br> |
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L'onda elettromagnetica non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte [[Riflessione|riflessa]] o dissipata per [[effetto Joule]]. |
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==Proprietà dei campi in un conduttore== |
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Le relative [[equazioni di Maxwell]] si modificano opportunamente nel caso di un conduttore ohmico [[Omogeneità (fisica)|omogeneo]] e [[Isotropia|isotropo]]: |
Le relative [[equazioni di Maxwell]] si modificano opportunamente nel caso di un conduttore ohmico [[Omogeneità (fisica)|omogeneo]] e [[Isotropia|isotropo]]: |
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:<math>a) \ \begin{cases} \nabla^2 \ |
:<math>a) \ \begin{cases} \nabla^2 \mathbf E - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0 \\ \nabla^2 \mathbf H - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t} = 0 \end{cases}</math> |
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Esse si possono ricavare dalla [[legge di Ohm]] generalizzata: |
Esse si possono ricavare dalla [[legge di Ohm]] generalizzata: |
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dove <math>\sigma</math> è la [[conducibilità elettrica]] e <math>\ |
dove <math>\sigma</math> è la [[conducibilità elettrica]] e <math>\mathbf J</math> è la [[Corrente elettrica|densità di corrente]]. Riscriviamo le equazioni di Maxwell: |
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:<math>\begin{cases} 1) \ & \mathbf \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ 2) \ & |
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\mathbf \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ 3) \ & \mathbf \nabla \times \mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \\ 4) \ & \mathbf \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}</math> |
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dove <math>\ |
dove <math>\mathbf D = \epsilon \mathbf E</math> e <math>\mathbf H = \frac{\mathbf B}{\mu}</math>, nel caso di materiale omogeneo ed isotropo. |
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Dalla quarta equazione allora sostituendo a <math>\ |
Dalla quarta equazione allora sostituendo a <math>\mathbf J</math> la legge di Ohm: |
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:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf H = \sigma \mathbf E + \epsilon \frac{\partial \mathbf E}{\partial t}</math> |
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Ora applicando il rotore ed usando le solite relazioni tra operatori: |
Ora applicando il rotore ed usando le solite relazioni tra operatori: |
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:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf H = - \nabla^2 \mathbf H + \mathbf \nabla \mathbf \nabla \cdot \mathbf H = \sigma (\mathbf \nabla \times \mathbf E) + \epsilon \frac{\partial}{\partial t} (\mathbf \nabla \times \mathbf E)</math> |
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sapendo che nella seconda uguaglianza, <math>\ |
sapendo che nella seconda uguaglianza, <math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf H = \frac{1}{\mu} (\mathbf \nabla \cdot \mathbf B) = 0</math>, che per la seconda equazione di Maxwell è nullo e per la terza equazione di Maxwell <math>\mathbf \nabla \times \mathbf E = - \mu \frac{\partial H}{\partial t}</math>. Questo procedimento si applica in maniera speculare alla terza equazione di Maxwell riuscendo le '''equazioni di Maxwell nei conduttori''', che riscriviamo: |
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:<math>a) \ \begin{cases} \nabla^2 \ |
:<math>a) \ \begin{cases} \nabla^2 \mathbf E - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0 \\ \nabla^2 \mathbf H - \epsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf H}{\partial t^2} - \sigma \mu \frac{\partial \mathbf H}{\partial t} = 0 \end{cases}</math> |
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La soluzione generale nel caso di [[onda piana]] che si propaga nella direzione x è: |
La soluzione generale nel caso di [[onda piana]] che si propaga nella direzione x è: |
Versione delle 14:59, 23 giu 2011
In fisica, lo studio di un'onda elettromagnetica in un conduttore affronta il problema di un'onda elettromagnetica che incide su un conduttore e che ha come effetto di accelerare gli elettroni di conduzione, che effettuano un moto oscillatorio forzato che dipende dalla forma dell'onda.
L'onda elettromagnetica non penetra oltre gli strati superficiali del conduttore, e viene per la maggior parte riflessa o dissipata per effetto Joule.
Proprietà dei campi in un conduttore
Le relative equazioni di Maxwell si modificano opportunamente nel caso di un conduttore ohmico omogeneo e isotropo:
Esse si possono ricavare dalla legge di Ohm generalizzata:
dove è la conducibilità elettrica e è la densità di corrente. Riscriviamo le equazioni di Maxwell:
dove e , nel caso di materiale omogeneo ed isotropo.
Dalla quarta equazione allora sostituendo a la legge di Ohm:
Ora applicando il rotore ed usando le solite relazioni tra operatori:
sapendo che nella seconda uguaglianza, , che per la seconda equazione di Maxwell è nullo e per la terza equazione di Maxwell . Questo procedimento si applica in maniera speculare alla terza equazione di Maxwell riuscendo le equazioni di Maxwell nei conduttori, che riscriviamo:
La soluzione generale nel caso di onda piana che si propaga nella direzione x è:
dove j è l'unità immaginaria e la funzione complessa ha soluzione del tipo:
dove
con parte reale e immaginaria data da:
In definitiva l'onda piana assume una soluzione del tipo:
A questo punto l'onda trasferisce un'oscillazione smorzata per con coefficiente di attenuazione .
Conclusioni
Analogamente alle onde che incidono su un conduttore ohmico si parla di effetto pelle nel caso un conduttore sia percorso da corrente alternata, allora l'oscillazione è maggiore sullo strato superficiale del conduttore. Inoltre l'incidenza di onde elettromagnetiche provocano i fenomeni di rifrazione e riflessione.