Notazione di Einstein

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Nel libro "La teoria della relatività" Albert Einstein introduce una notazione che rende le formule della relatività generale più concise. "Quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario."

In matematica, e in particolare nelle applicazioni dell'algebra lineare alla fisica la notazione di Einstein o la convenzione di Einstein nelle sommatorie è una notazione convenzionale utile quando si lavora con formule contententi indici di coordinate.

Secondo questa convenzione, ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta deve essere sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello spazio di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La notazione astratta degli indici è uno sviluppo della notazione di Einstein.

La convenzione è stata introdotta dallo stesso Albert Einstein per rendere più concise alcune equazioni di geometria differenziale utili a formulare la relatività generale. La convenzione si applica generalmente a equazioni contenenti dei tensori. La convenzione non ha significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile al formalismo matematico.

Definizione

Nel libro "La teoria della relatività", dopo un paragrafo di introduzione in cui definisce lo spazio-tempo, Einstein dedica un paragrafo ai "Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale". A valle della definizione di quadrivettore covariante e controvariante, dedica una nota alla "Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "notazione semplificata", da applicare ai tensori precedentemente introdotti. A proposito scrive:

«Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e unicamente rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno $\sum$. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da Levi-Civita, indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto.»

Usando le parole di Einstein, la convenzione è quindi la seguente:

Quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario.

Esempi

Generalmente la covenzione di Einstein è usata in presenza di tensori. Gli esempi qui proposti sono tutti tensori.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori $x$ e $y$ dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è definito come

$\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}.\,\!$

Usando la convenzione di Einstein, si può sottindendere il simbolo di sommatoria. L'espressione può essere scritta come

$\langle x,y\rangle =x_{i}y_{i}.\,\!$

Infatti il termine $x_{i}y_{i}$ contiene due volte l'indice $i$, la sommatoria sui valori di $i$ può essere sottointesa.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori $u$ e $v$ in $\mathbb {R} ^{3}$ è definito come

$(u\times v)_{i}=\epsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\,\!$

Nell'espressione è sottointesa una somma sugli indici $j$ e $k$ poiché entrambi compaiono due volte nel termine di destra. Il simbolo $\epsilon _{ijk}$ dipendente da 3 indici è il simbolo di Levi-Civita. L'espressione però non è sommata sull'indice $i$, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni $i$ l'$i$-esima coordinata del prodotto vettoriale fra $u$ e $v$.

Indicando con

$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$

la base canonica di $\mathbb {R} ^{3}$, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo

$u\times v=\epsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}.$

Qui la somma è effettuata su tutti gli indici $i,j,k$. In altre parole,

$u\times v=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\epsilon _{ijk}u_{j}v_{k}\mathbf {e} _{i}.$

Indici muti e liberi

In una espressione scritta secondo la convenzione di Einstein, gli indici che vanno sommati si chiamano muti e gli altri sono liberi. Ad esempio, nell'espressione

$v^{i}=T_{k}^{i}w^{k}-U_{h}^{i}z^{h}\,\!$

gli indici $k$ e $h$ sono muti e l'indice $i$ è libero. Poiché gli indici $k$ e $h$ devono essere sommati su alcuni valori predeterminati, hanno un ruolo tutto interno all'espressione che non si "manifesta" all'esterno: in particolare, è possibile cambiare lettera per indicare gli indici muti a piacimento. Ad esempio, i due indici muti possono essere scambiati senza variare il significato dell'espressione:

$v^{i}=T_{h}^{i}w^{h}-U_{k}^{i}z^{k}.\,\!$

Notazione astratta degli indici

La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i tensori valgano componente per componente o se siano equazioni tensoriali, indipendenti dalla scelta di una base. Per questo motivo Roger Penrose e altri hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten:

• Equazioni che contengano indici indicati da lettere latine (e.g., $T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}})$) sono da considerarsi relazioni tra tensori e non è necessaria la scelta di una base di coordinate
• Equazioni che contengano indici indicati da lettere greche (e.g., $T_{\nu _{1},\dots ,\nu _{s}}^{\mu _{1},\dots ,\mu _{r}})$) sono da considerarsi relazioni tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria la scelta di una base di coordinate.

La notazione astratta degli indici (abstract index notation) distingue queste due situazioni pertanto la notazione $T_{de}^{abc}$ e $T_{b_{1},\dots ,b_{s}}^{a_{1},\dots ,a_{r}}$ indicano tensori di classe (3, 2) e (r,s), pertanto sappiamo che il primo tensore, ad esempio, agisce su $\underbrace {V_{P}^{*}\times \dots \times V_{P}^{*}} _{r\,volte}$ e su $\underbrace {V_{P}\times \dots \times V_{P}} _{s\,volte}$ ossia agisce su $s$ vettori e $r$ covettori.

Questa notazione si scontraparzialmente con un uso precedente , tuttavia ancora diffuso, per il quale si usano le lettere greche quando si vuole indicare che la sommatoria deve essere svolta su tutti gli indici (spaziali e temporali), si usano le lettere latine quando la sommatoria e ristretta alle sole componenti spaziali (quindi, per esempio, $x^{\mu }x_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}=-(x^{0})^{2}+||{\hat {x}}||^{2}$ dove abbiamo usato la metrica $g_{\mu \nu }=diag(-1,+1,+1,+1)$ e $x^{0}=ct$, invece $x^{i}x_{i}=\sum _{i=1}^{3}=||{\hat {x}}||^{2}$. La parte spaziale (vettore 3 dimensionale) del quadrivettore $x$ è indicata da ${\hat {x}}$ e $||{\hat {x}}||^{2}$ è la norma quadra di ${\hat {x}}$).

Voci correlate

• Tensore
• Notazione bra-ket