Ipocicloide

L'ipocicloide è una curva piana appartenente alla categoria delle roulette ovvero delle curve generate da una figura che rotola su di un'altra. L'ipocicloide infatti è definita come la curva generata da una circonferenza che rotola sulla superficie interna di un'altra circonferenza.

Forma matematica

Due ipocicloidi. La prima ha un rapporto a/b pari a 5/3 ed è una curva chiusa con 5 cuspidi. La seconda ha un rapporto fra i raggi irrazionale (1/ √ 2) ed è una curva aperta con un numero infinito di cuspidi (solo una parte del grafico è mostrata).

La rappresentazione parametrica di un'ipocicloide generata da una circonferenza di raggio b che rotola su di una circonferenza di raggio a è data da:

$x=\left(a-b\right)\cos \phi -b\cos \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)$
$y=\left(a-b\right)\sin \phi +b\sin \left({\frac {a-b}{b}}\phi \right)$.

L'ipocicloide è una funzione continua ed è differenziabile ovunque tranne sulle cuspidi.

Se a/b è un numero razionale allora l'ipocicloide è una curva chiusa con a/b cuspidi. Se invece a/b è un numero irrazionale la curva non si chiude mai.

Esempi di ipocicloidi. Nelle prime tre righe sono rappresentate ipocicloidi con un rapporto tra a e b razionale, invece, nell'ultima riga il rapporto tra a e b è irrazionale. Al primo gruppo appartengono tutte ipocicloidi chiuse, al secondo tutte ipocicloidi aperte.

Voci correlate

• Roulette
• Cicloide
• Epicicloide
• Astroide

Collegamenti esterni

• (EN) l'ipocicloide su MathWorld