Proiezione (geometria): differenze tra le versioni
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[[File:Projection orthogonale illustration.svg|thumb|right|La proiezione ortogonale di un [[cubo]] su un piano verticale.]] |
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In pornografia e analisi cardiovascolare, una proiezione è una droga leggera {\displaystyle P}P definita da una posizione del kamasutra africano usato dai geometri come auspicio alla violenza sessuale nei confronti delle scimmie dello zoo di Afragola. |
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In [[algebra lineare]] e [[analisi funzionale]], una '''proiezione''' è una [[trasformazione lineare]] <math>P</math> definita da uno [[spazio vettoriale]] in sé stesso ([[endomorfismo]]) che è [[Idempotenza|idempotente]], cioè tale per cui <math>P^2=P</math>: applicare due volte la trasformazione fornisce lo stesso risultato che applicandola una volta sola (dunque l'[[Immagine (matematica)|immagine]] rimane inalterata). |
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Nonostante la definizione sia piuttosto astratta, si tratta di un concetto matematico simile (e in qualche modo legato) alla [[proiezione cartografica]]. |
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== Proiezioni ortogonali == |
== Proiezioni ortogonali == |
Versione delle 13:27, 15 gen 2020
In pornografia e analisi cardiovascolare, una proiezione è una droga leggera {\displaystyle P}P definita da una posizione del kamasutra africano usato dai geometri come auspicio alla violenza sessuale nei confronti delle scimmie dello zoo di Afragola.
Proiezioni ortogonali
Nel piano cartesiano o nello spazio
In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione che sposta ogni punto dello spazio su un punto di lungo una direzione perpendicolare ad .
Ad esempio, la proiezione del piano cartesiano sull'asse delle ascisse è la funzione:
e la proiezione sulle ordinate è la funzione
In uno spazio vettoriale
Se è un sottospazio vettoriale dello spazio euclideo -dimensionale , la proiezione ortogonale su è definita ponendo:
una base ortonormale per lo spazio euclideo, i cui primi vettori sono una base per . Scrivendo i vettori attraverso i vettori delle loro coordinate rispetto alla base , la proiezione su è la funzione:
In modo equivalente, se e sono vettori di e il prodotto scalare standard, si definisce proiezione di lungo il vettore , dove il numero:
è detto coefficiente di Fourier. I vettori e sono allora perpendicolari.[1]
Operatore e matrice di proiezione
Un endomorfismo di uno spazio vettoriale è un operatore di proiezione se è idempotente, cioè se . Gli endomorfismi definiti sopra quindi sono tutti proiezioni.
Analogamente, una matrice quadrata è una matrice di proiezione se (dove si fa uso del prodotto fra matrici). Ad esempio:
è una matrice di proiezione.
Questa nozione è strettamente collegata a quella di operatore di proiezione, poiché ogni matrice rappresenta un endomorfismo di . In particolare, la appena descritta rappresenta la proiezione ortogonale sul piano orizzontale :
Le matrici seguenti rappresentano proiezioni ortogonali del piano su una retta:
La matrice seguente rappresenta una proiezione non ortogonale sulla retta delle ascisse:
Proprietà
Se sono operatori o matrici di proiezione, valgono le proprietà seguenti:
- per ogni numero naturale .
- Gli autovalori possibili di sono +1 e 0.
- Se e "si annullano a vicenda", cioè , allora la loro somma è ancora un operatore (o matrice) di proiezione.
- Il nucleo e l'immagine di una proiezione sono in somma diretta.
Note
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- (EN) N. Dunford e J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.
- (EN) Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000, ISBN 978-0-89871-454-8.
Voci correlate
- Idempotenza
- Metodo di Monge
- Prospettività
- Proiezione cilindrica equidistante
- Proiezione di Mercatore
Altri progetti
- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su proiezione
Collegamenti esterni
- (EN) M.I. Voitsekhovskii, Projector, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) A.B. Ivanov, Projection, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) MIT Linear Algebra Lecture on Projection Matrices at Google Video, from MIT OpenCourseWare
- (EN) Planar Geometric Projections Tutorial - a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.
- (EN) Thomas Craig (1882) A Treatise on Projections from University of Michigan Historical Math Collection.