Spazio di Besov

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In analisi funzionale, uno spazio di Besov è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando e . Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev.[1] Nello specifico, sia:

una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:

Se n è un numero intero non negativo, definendo con , lo spazio di Besov contiene tutte le funzioni tali che:

dove è uno spazio di Sobolev.

Nello spazio di Besov è definita la norma:

Lo spazio coincide con il classico spazio di Sobolev .

Differenze finite e moduli di continuità[modifica | modifica wikitesto]

La differenza finita di ordine m e passo h applicata a è definita nel seguente modo:

Da cui il modulo di continuità di ordine m di in Lp è definito da:

Siano un dominio, e . Si ponga inoltre . Lo spazio di Besov:

è l'insieme delle funzioni in tali che la quasi-seminorma:

è finita. In simboli:

Norma[modifica | modifica wikitesto]

Questo spazio è munito della norma:

Inclusioni[modifica | modifica wikitesto]

Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:

Per quanto riguarda , talvolta detto spazio di Zygmund ()[2], si hanno le seguenti inclusioni:

  • dove l'uguaglianza vale per .

Interpolazione[modifica | modifica wikitesto]

Siano un dominio lipschitziano, e . Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di in Lp:

Quindi gli spazi che interpolano e sono spazi di Besov:

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Besov, in MathWorld, Wolfram Research.
  2. ^ DeVore, R. "Nonlinear Approximation", Acta Numerica (1998), pag. 92.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bergh, J. and Löfström, J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag, 1976.
  • (EN) Peetre, J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham, NC: Duke University Press, 1976.
  • (EN) Petrushev, P. P. and Popov, V. A. "Besov Spaces." §7.2 in Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, pp. 201-203, 1987.
  • (EN) Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. New York: Wiley, 1998.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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