Sofisma algebrico

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In matematica, un sofisma algebrico è una dimostrazione o un ragionamento matematico contenente un errore, che porta quindi ad un risultato errato o contraddittorio. Usualmente questi sofismi sono utilizzati a scopo didattico, per dimostrare l'importanza del rigore nelle dimostrazioni matematiche; per questo motivo, gli errori presenti sono in generale molto sottili e difficili da rilevare (relativamente al pubblico cui sono destinati) ma alla fine il ragionamento presenta conclusioni evidentemente erronee. La storia della matematica registra comunque numerosi casi di ragionamenti erronei dovuti a matematici importanti.

Di seguito vengono riportati alcuni esempi classici di sofismi algebrici, suddivisi in base alla tipologia dell'errore che viene introdotto.

Divisione o moltiplicazione per zero[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Divisione per zero.

La seconda legge di monotonia afferma che, data una equazione o una uguaglianza, è possibile ottenerne un'altra equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i suoi membri per lo stesso valore reale, che però non può valere zero.[1] L'errata applicazione di questa regola conduce a risultati errati, come nell'esempio seguente. Siano a e b due numeri reali non nulli uguali fra loro:

a = b.

Moltiplicando entrambi i membri dell'uguaglianza per a e sottraendo b^2 si ottiene:


\begin{matrix}
a^2       & = & ab \\
a^2 - b^2 & = & ab - b^2.
\end{matrix}

Scomponendo in fattori entrambi i membri dell'equazione si ottiene un fattore comune (a - b):

(a + b)(a - b) = b(a - b).

Dividendo per (a - b) si ottiene:

a + b = b.

Avendo posto come condizione iniziale a = b possiamo eseguire, senza che risulti errata, la sostituzione:

a + a = 2a = a,

da cui però, ponendo per esempio a = 1, si avrebbe la conclusione errata 1 = 2, ossia che un numero risulti uguale al suo doppio. Il passaggio errato consiste nella divisione per (a - b), che vale 0 quindi non si può effettuare, dato che era stato supposto a = b.

Applicazione di regole al di fuori del limiti di validità[modifica | modifica sorgente]

Un altro errore diffuso è l'applicazione di teoremi e proprietà al di fuori del loro limiti di validità,[2] come nell'esempio sotto:


\frac{-1}{1}  = \frac{1}{-1} \Rightarrow \sqrt{\frac{-1}{1}}  = \sqrt{\frac{1}{-1}}
\Rightarrow \frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}  = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}.

L'ultimo passaggio riportato è errato in quanto il passaggio della radice su ogni elemento della frazione \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} è valido solamente se a e b sono numeri positivi. A partire da qui, utilizzando i numeri complessi si ottiene:

\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}  = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}} \Rightarrow \frac{i}{1}  = \frac{1}{i}.

Moltiplicando per l'unità immaginaria i si ha infine:

\frac{i^2}{1} = \frac{1i}{i} \Rightarrow -1 = 1.

Serie infinite[modifica | modifica sorgente]

Le serie rappresentano somme di infiniti termini; l'applicazione ad esse di proprietà caratteristiche delle somme finite può condurre a risultati erronei.[3] Ad esempio la serie di Grandi.

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k = 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots

può essere rappresentata come

(1 - 1) + (1 - 1) + \ldots = 0 + 0 + \ldots = 0

oppure

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + \ldots = 1 + 0 + 0 + \ldots = 1.

Da cui segue 0 = 1. L'errore consiste in questo caso nell'utilizzo della proprietà associativa, che vale solamente se la serie senza parentesi è convergente.

In passato, errori analoghi furono commessi anche da matematici famosi, come Guido Grandi, che diede addirittura un aspetto filosofico al risultato precedente, sostenendo che fosse il modo con cui Dio creò il mondo dal nulla. Lo stesso Grandi ottenne anche un terzo risultato errato nel calcolo della serie: partendo dalla nota formula per la serie geometrica:

\sum_{k=0}^\infty x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots = \frac{1}{1-x},

valida solo quando |x| < 1, Grandi estrapolò per x = -1 il risultato

1 -1 + 1 - 1 + \ldots = \frac{1}{2}.

Eulero commise un analogo errore ponendo x = 2 e ottenendo

-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots,

ovvero una successione di numeri positivi la cui somma è negativa.

Osserviamo tuttavia che tramite la somma di Cesàro è possibile dare significato al caso x = -1.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Alexander Bogomolny, Multiplication of Equations in Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles. URL consultato il 02-08-2008.
  2. ^ (EN) Philip Spencer, 1=2: A Proof using Complex Numbers in Classic Fallacies, University of Toronto, 26-05-1998. URL consultato il 02-08-2008.
  3. ^ Piergiorgio Odifreddi, Dai paradossi ai teoremi in C'era una volta un paradosso, 1ª ed., Torino, Einaudi, 2001, pp. 255-257. ISBN 88-06-15090-1.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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